整型的扩展与截断

当在不同位宽的整数类型之间进行转换时，涉及扩展（小位宽 → 大位宽）和截断（大位宽 → 小位宽）两种操作。

扩展

零扩展（Zero Extension）

用于无符号数的扩展。

在原有高位之前补充0
数值保持不变
例如：0101（4位，值5）→ 00000101（8位，值5）

符号扩展（Sign Extension）

用于有符号数（补码） 的扩展。

在原有高位之前补充原最高位（符号位）的值
数值保持不变
原理：补码的负权重通过复制符号位得以保持

示例（4位扩展到8位）：

原4位	扩展后8位	数值
`0101` (5)	`00000101`	5
`1011` (-5)	`11111011`	-5

对于 1011（4位补码 = -8 + 0 + 2 + 1 = -5）：

符号扩展为 11111011（8位补码 = -128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = -5）
可以验证：新增加的符号位权重之和恰好抵消了多出来的负权

证明思路

符号扩展一位的效果：原来的最高位 $x_{w - 1}$ 在新的表示中从权重 $2^{w - 1}$ 变为了 $- 2^{w} + 2^{w - 1} = - 2^{w - 1}$ ，这正好等于它原本作为符号位的负权 $- 2^{w - 1}$ 。

截断（Truncation）

当将大位宽的整数强制转换为小位宽时，直接丢弃高位的比特位。

截断规则

截断后的值 = 原值 mod 2^{w}

其中 $w$ 是目标类型的位数。

无符号数截断：相当于取模 $2^{w}$ 后的余数
有符号数截断：先按无符号数截断（取模），然后用补码解释该结果

示例

int x = 53191;          // 二进制: 1100111111100111
short sx = (short) x;   // 截断为16位: 111111100111 = -12345

截断后的位模式为低16位：1100111111100111
解释为16位补码：最高位为1，故为负数，数值为 $- (2^{15}) + 高位相应位 = - 12345$

相关笔记

链接到

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