一阶逻辑基本概念

一阶逻辑的引入

命题逻辑的局限性在于无法分析命题内部的成分，如 “所有的正整数都是自然数” 这类命题无法用命题逻辑准确表达。一阶逻辑（First-Order Logic），又称一阶谓词逻辑，是在命题逻辑的基础上引入个体词、谓词和量词，使得对命题内部的刻画更加精细。

基本概念

个体词（Individual）：所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的对象。表示具体或特定个体的词称为个体常项，用 a, b, c 等表示；表示抽象或泛指的个体的词称为个体变项，用 x, y, z 等表示。个体变项的取值范围称为个体域（Domain），将宇宙中所有事物构成的个体域称为全总个体域。

谓词（Predicate）：用以刻画个体词的性质或个体词之间关系的词。谓词常项用大写字母 F, G, H 等表示。若谓词中包含 n 个个体变项，则称其为 n 元谓词，记作 $F (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 。0 元谓词即为命题。

量词（Quantifier）：表示个体数量的词。全称量词 $\forall x$ 表示 “对所有的 x”；存在量词 $\exists x$ 表示 “存在 x”。将量词加在谓词前构成量化公式，如 $\forall x F (x)$ 表示 “所有 x 都具有性质 F”。

合式公式

一阶逻辑中的合式公式（Well-Formed Formula）递归定义如下：

原子公式是合式公式，原子公式包括单独出现的命题变项和形如 $F (x_{1}, \dots, x_{n})$ 的公式。
若 A 是合式公式，则 $\neg A$ 也是合式公式。
若 A, B 是合式公式，则 $A \land B$ , $A \lor B$ , $A \to B$ , $A \leftrightarrow B$ 也是合式公式。
若 A 是合式公式，则 $\forall x A$ 和 $\exists x A$ 也是合式公式。