命题基本概念

命题的定义

命题：判断结果唯一的陈述句。

命题的真值：判断的结果。真值的取值为真与假。

真命题与假命题。

命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题。简单命题指不能再被分解的命题。

命题常项：具有确定真值的命题（又称命题常元）。

命题变项（命题变元）：以真值尚未确定的命题为取值范围的变量。常项与变项均用 p, q, r, s, … 等表示。

联结词

否定联结词 $\neg$

定义1.1 设 $p$ 为命题，复合命题 “非 $p$ “（或 ” $p$ 的否定”）称为 $p$ 的否定式，记作 $\neg p$ ，符号 $\neg$ 称作否定联结词。规定 $\neg p$ 为真当且仅当 $p$ 为假。

合取联结词 $\land$

定义1.2 设 $p, q$ 为两个命题，复合命题 ” $p$ 并且 $q$ “（或 ” $p$ 与 $q$ “）称为 $p$ 与 $q$ 的合取式，记作 $p \land q$ ， $\land$ 称作合取联结词。规定 $p \land q$ 为真当且仅当 $p$ 与 $q$ 同时为真。

析取联结词 $\lor$

定义1.3 设 $p, q$ 为两个命题，复合命题 ” $p$ 或 $q$ ” 称作 $p$ 与 $q$ 的析取式，记作 $p \lor q$ ， $\lor$ 称作析取联结词。规定 $p \lor q$ 为假当且仅当 $p$ 与 $q$ 同时为假。

蕴涵联结词 $\to$

定义1.4 设 $p, q$ 为两个命题，复合命题 “如果 $p$ , 则 $q$ ” 称作 $p$ 与 $q$ 的蕴涵式，记作 $p \to q$ ，并称 $p$ 是蕴涵式的前件， $q$ 为蕴涵式的后件， $\to$ 称作蕴涵联结词。规定 $p \to q$ 为假当且仅当 $p$ 为真 $q$ 为假。

等价联结词 $\leftrightarrow$

定义1.5 设 $p, q$ 为两个命题，复合命题 ” $p$ 当且仅当 $q$ ” 称作 $p$ 与 $q$ 的等价式，记作 $p \leftrightarrow q$ ， $\leftrightarrow$ 称作等价联结词。规定 $p \leftrightarrow q$ 为真当且仅当 $p$ 与 $q$ 同时为真或同时为假。

合式公式

定义1.6 合式公式（简称公式）的递归定义：

单个命题变项和命题常项是合式公式，称作原子命题公式。
若 $A$ 是合式公式，则 $(\neg A)$ 也是。
若 $A, B$ 是合式公式，则 $(A \land B)$ , $(A \lor B)$ , $(A \to B)$ , $(A \leftrightarrow B)$ 也是。
只有有限次地应用 (1)—(3) 形成的符号串才是合式公式。

赋值与真值表

定义1.8 设 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ 是出现在公式 $A$ 中的全部命题变项，给 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ 各指定一个真值，称为对 $A$ 的一个赋值或解释。若赋值使 $A$ 为 $1$ ，则称这组值为 $A$ 的成真赋值；若赋值使 $A$ 为 $0$ ，则称这组值为 $A$ 的成假赋值。