遍历性

遍历性（ergodicity）是马尔可夫信源的一个重要性质，它保证了时间平均等于空间平均。一个具有遍历性的马尔可夫信源，其状态序列的时间平均统计量几乎必然收敛于对应稳态分布下的期望统计量。

遍历性的成立需要两个关键条件：不可约性（irreducibility）和非周期性（aperiodicity）。不可约性意味着从任意状态出发，经过有限步转移可以到达任何其他状态，即状态空间在转移意义下是连通的。非周期性要求不存在使状态返回呈现固定周期的现象，即所有状态返回的时间的最大公约数为 1。同时满足不可约性和非周期性的马尔可夫链称为正则链（regular chain）。

遍历性与平稳性是两个不同的概念。平稳性描述的是统计分布的时间平移不变性，而遍历性描述的是时间平均与空间平均的一致性。一个信源可以平稳但不遍历（例如由多个互不相通的子链构成的平稳信源），反之则不成立——遍历信源通常要求平稳性作为前提。遍历性是 SMB 定理成立的关键条件，也是确保典型集性质在平稳信源中仍然成立的重要保障。