7.8 并行高斯信道

并行高斯信道

并行高斯信道（Parallel Gaussian Channels）由多个相互独立的高斯子信道并行组合而成。每个子信道 i 具有独立的加性高斯噪声 W_i ~ N(0, sigma_i^2)，接收信号 Y_i = X_i + W_i，且各子信道间的噪声相互独立。发送端总功率受限于 P，需要在各子信道间分配功率以最大化总传输速率。这一模型对应于实际通信系统中的多载波调制、正交频分复用以及多天线系统中的独立子信道场景。

并行高斯信道的总容量等于各子信道容量之和，但前提是需要在各子信道间进行最优功率分配。设子信道 i 分配的功率为 P_i，满足 sum P_i ⇐ P，则总容量为：

$$C=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{\log }_2\left(1+\frac{P_i}{{\sigma }_i^2}\right)\text{(比特/信道使用)}$$

通过拉格朗日乘子法求解该优化问题，得到注水算法（Water-filling）功率分配策略：

$$P_i=\max \left\{0,\frac{1}{\lambda }-{\sigma }_i^2\right\}$$

其中常数 lambda 由总功率约束 sum P_i = P 确定。注水算法的直观含义是：信道条件越好（噪声方差 sigma_i^2 越小），分配到的功率越多；信道条件越差（噪声方差 sigma_i^2 越大），分配到的功率越少。当某个子信道的噪声方差超过水平线 1/lambda 时，该子信道不予使用（分配功率为零）。这一策略就像将水注入一个凹凸不平的容器中，水平面保持一致——噪声方差越低的位置，注入的水量越多。

从几何角度理解，并行高斯信道对应高维空间中的球体填充问题。每个子信道对应一个维度，噪声在该维度上的标准差 sigma_i 决定了噪声球在该轴上的半径。信号球的总半径由总功率 P 决定。经过注水功率分配后，信号球在各个维度上的半径得以最优配置，使得信号球与噪声球的体积之比最大化，从而在总空间中容纳尽可能多的可分辨码字。高维空间中的这一几何直观解释了为什么注水算法能够达到信道容量——它使信号点在噪声椭球周围达到最优的填充密度。

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