GF(2)域零空间
在 GF(2) 域（二元域，即模 2 运算域）上，零空间（Null Space）是线性分组码的理论基础。对于一个大小为 m x n 的校验矩阵 H（其中 m 为校验位长度，n 为码长），其零空间定义为所有满足 H x^T = 0 的向量 x 的集合，记作 N(H) = {x in GF(2)^n | H x^T = 0}。零空间构成了 GF(2)^n 中的一个线性子空间，其维度为 n - rank(H)。当 H 满秩（秩为 m）时，零空间包含 2^(n-m) 个码字，这意味着校验矩阵的每一行都给出一个线性约束条件，将所有码字限制在 n 维空间中的一个低维子空间内。
编码过程本质上是将原始信息向量 u in GF(2)^k 映射到零空间中的码字 x in GF(2)^n，其中 k = n - m。这一映射通过生成矩阵 G 实现：x = u G，其中 G 满足 H G^T = 0，即生成矩阵的行空间与校验矩阵的零空间重合。发送端构造码字时，将原始数据填入 k 个信息位的位置，然后通过求解线性方程组 H x^T = 0 确定其余 m 个校验位的取值。这一过程可表示为：
接收端收到向量 y 后，计算其伴随式 s = H y^T。若 s = 0，则 y 位于零空间中，认为传输过程中未检测到错误；若 s != 0，则 y 不在零空间中，判定传输出现错误。GF(2) 域上的运算遵循模 2 加法（即异或运算）和模 2 乘法（即与运算）。在该域中，加法和减法是等价的，这为编码和译码的硬件实现带来了极大的便利——异或门即可完成所有的加法运算。对于汉明码而言，校验矩阵 H 的各列向量互不相同且都不为零，这一设计保证了不同错误位置对应不同的伴随式，从而能够唯一确定错误比特的位置，实现单比特错误的精确纠正。