伴随式
伴随式（Syndrome）是线性分组码译码中的核心概念和基本工具。对于给定的 m x n 校验矩阵 H，接收向量 y 的伴随式定义为 s = H y^T，其中 s 是一个 m 维列向量。若发送码字为 x（满足 H x^T = 0），信道错误图样为 e（即接收向量 y = x + e，加法在 GF(2) 域中按位进行），则伴随式可写为：
这一关系表明，伴随式仅与错误图样 e 有关，而与发送的具体码字 x 无关。这一关键性质使得译码器无需知道发送的是什么码字，仅通过伴随式即可进行错误检测和纠正，大大简化了译码器的设计。
在汉明码中，伴随式的计算过程十分简洁。若计算结果 s = 0，则表明传输未发生错误（或发生了不可检测的错误模式）。若 s != 0，则表明传输出现错误。由于汉明码的校验矩阵 H 的各列互不相同且非零，伴随式 s 恰好等于 H 中对应错误位置的列向量。举例来说，若错误出现在第 j 位（即 e 的第 j 位为 1，其余为 0），则 s = H e^T 恰好等于 H 的第 j 列。因此，通过查找伴随式 s 在 H 中的列索引，即可直接定位错误比特的位置，将该比特取反即可完成纠错。
伴随式译码在硬件实现中极为高效。接收端只需使用异或门阵列计算 s = H y^T，然后通过一个查找表将伴随式映射到错误位置，最后将对应位取反。伴随式与错误图样之间的对应关系可以通过标准阵列（Standard Array）系统地建立——标准阵列将整个接收空间划分为陪集，每个陪集中选择一个重量最小的向量作为陪集首（Coset Leader），由陪集首对应的伴随式索引。若 s 非零但不对应 H 的任意一列，则表明发生了多于 1 位的错误，此时译码器通常输出错误标志或尝试进行最大似然译码。