1.4 典型信号

典型信号

在信号与系统分析中，有一类基本的、具有代表性的信号，它们常作为基本构建单元或标准激励源出现。

---

指数信号（Exponential Signal）

实指数信号

$$f(t)=A{e}^{\alpha t}$$

• $A$：幅度
• $\alpha$：衰减因子（实数）
  • $\alpha >0$：信号随时间增长（发散）
  • $\alpha <0$：信号随时间衰减（收敛）
  • $\alpha =0$：直流信号（常数）

实际应用中通常使用单边指数信号：

$$f(t)=\{\begin{array}{llc}A{e}^{-\alpha t},& t\ge 0/0,& t<0\end{array}(\alpha >0)$$

复指数信号

$$f(t)=A{e}^{st}=A{e}^{(\sigma +j\omega )t}=A{e}^{\sigma t}{e}^{j\omega t}=A{e}^{\sigma t}(\cos \omega t+j\sin \omega t)$$

• $s=\sigma +j\omega$：复频率（Complex Frequency）
• $\sigma$：衰减因子，决定幅度变化趋势
• $\omega$：振荡角频率

重要性质：

• 复指数信号可分解为实部和虚部：实部为 $A{e}^{\sigma t}\cos (\omega t)$，虚部为 $A{e}^{\sigma t}\sin (\omega t)$
• 当 $\sigma =0$ 时：$e^{j\omega t}=\cos (\omega t)+j\sin (\omega t)$，对应等幅正弦振荡
• 当 $\omega =0$ 时：退化为实指数信号
• 复指数信号对线性时不变系统（LTI）是特征函数，即 LTI 系统对复指数输入的响应仍是同频率的复指数信号（仅幅度和相位变化）

---

正弦信号（Sinusoidal Signal）

$$f(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$$

• $A$：振幅（Amplitude）
• $\omega =2\pi f$：角频率（Angular Frequency），单位 rad/s
• $f$：频率，单位 Hz
• $\varphi$：初相位（Initial Phase），单位 rad
• $T=2\pi /\omega$：周期

性质：

• 正弦信号是周期信号，基本周期 $T=2\pi /\omega$
• 正弦信号可由复指数信号取虚部或实部得到
• 正弦信号经微分或积分后仍为同频率的正弦信号

与复指数信号的关系（欧拉公式）：

$$e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$$ $$\cos \theta =\frac{e^{j\theta }+e^{-j\theta }}{2},\sin \theta =\frac{e^{j\theta }-e^{-j\theta }}{2j}$$

---

单位阶跃信号（Unit Step Signal）

$$u(t)=\{\begin{array}{llcc}1,& t>0/\frac{1}{2},& t=0(\text{或定义 }u(0)=1)/0,& t<0\end{array}$$

性质：

• 在 $t=0$ 处发生跳变，不连续
• 用于描述信号的接入（开关作用）
• 与冲激信号的关系：$u(t)={\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )d\tau$，$\delta (t)=\frac{du(t)}{dt}$

---

单位冲激信号（Unit Impulse Signal）

单位冲激信号 $\delta (t)$（Dirac Delta Function）是一种广义函数，定义为：

$$\{\begin{array}{ll}\delta (t)=0,& t\ne 0/{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1\end{array}$$

性质：

• 筛选性（采样性）：${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t)dt=f(0)$，${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-t_0)dt=f(t_0)$
• 尺度变换：$\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$
• 偶函数性质：$\delta (-t)=\delta (t)$
• 与阶跃信号互为微分积分关系

---

抽样信号（Sampling Function）

$$\text{Sa}(t)=\frac{\sin t}{t}$$

重要性质：

• 偶函数：$\text{Sa}(-t)=\text{Sa}(t)$
• $\text{Sa}(0)=1$（通过极限定义 ${\lim }_{t\to 0}\sin t/t=1$）
• 过零点：$t=\pm n\pi ,n=1,2,3,\dots$
• 能量：${\int }_{-\infty }^{\infty }\text{Sa}(t)dt=\pi$
• ${\int }_{-\infty }^{\infty }{\text{Sa}}^2(t)dt=\pi$
• 随着 $|t|$ 增大，幅度按 $1/|t|$ 衰减，呈现振荡衰减趋势

应用：

• 在信号采样理论中，Sa 函数是理想低通滤波器的冲激响应
• 在傅里叶变换中，矩形函数的傅里叶变换是 Sa 函数

常用形式：

$$\text{Sinc}(t)=\frac{\sin (\pi t)}{\pi t}$$

与 Sa 函数的关系：$\text{Sinc}(t)=\text{Sa}(\pi t)$

---

其他典型信号

斜变信号（Ramp Signal）

$$r(t)=\{\begin{array}{llc}0,& t<0/t,& t\ge 0\end{array}$$

与阶跃信号关系：$\frac{dr(t)}{dt}=u(t)$

符号函数（Signum Function）

$$\text{sgn}(t)=\{\begin{array}{llcc}1,& t>0/0,& t=0/-1,& t<0\end{array}$$

与阶跃信号关系：$\text{sgn}(t)=2u(t)-1$，$u(t)=\frac{1}{2}[\text{sgn}(t)+1]$

---

链接到

• 上一个知识点：1.3 信号运算
• 下一个知识点：1.5 奇异信号