2.4 卷积求全响应

卷积求全响应

全响应的卷积表示

对于 LTI 系统，全响应可以统一表示为：

$y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)$

其中零状态响应由输入信号与冲激响应的卷积给出： $y_{zs}(t)=x(t)\ast h(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

因此，全响应的完整表达式为： $y(t)=y_{zi}(t)+x(t)\ast h(t)$

三种分解方式

1. 零输入响应 + 零状态响应（按成因分解）

$y(t)=\underset{\text{零输入}}{\underbrace{y_{zi}(t)}}+\underset{\text{零状态}}{\underbrace{x(t)\ast h(t)}}$

• 零输入响应 $y_{zi}(t)$：系统初始储能引起的响应，与输入无关
• 零状态响应 $x(t)\ast h(t)$：输入激励引起的响应，与初始储能无关

这种分解体现了 LTI 系统的线性性质：初始状态和输入对系统的影响相互独立，可以分别计算再叠加。

物理意义：

• 初始储能：电容上的初始电压、电感上的初始电流等
• 激励：外加的电压源、电流源等输入信号
• 全响应是两者作用的代数和

2. 自然响应 + 强迫响应（按响应形式分解）

$y(t)=\underset{\text{自然响应}}{\underbrace{y_n(t)}}+\underset{\text{强迫响应}}{\underbrace{y_f(t)}}$

• 自然响应（自由响应）：齐次解部分，形式由系统特征根决定，系数受激励影响
• 强迫响应：特解部分，形式由激励信号决定

关系与区别：

• 零输入响应一定是自然响应的一部分
• 零状态响应包含自然响应和强迫响应两部分
• 初始储能和激励都会影响自然响应的系数

3. 瞬态响应 + 稳态响应（按时间特性分解）

$y(t)=\underset{\text{瞬态响应}}{\underbrace{y_t(t)}}+\underset{\text{稳态响应}}{\underbrace{y_s(t)}}$

• 瞬态响应：随时间增长而衰减到零的部分（特征根实部为负的分量）
• 稳态响应：随时间增长仍然保留下来的部分（包括直流分量、等幅振荡等）

特点：

• 对于稳定系统，当 $t\to \infty$ 时，瞬态响应消失
• 稳态响应有时也等于强迫响应（当强迫响应不衰减时）
• 瞬态响应反映了系统的过渡过程

三种分解的关系对比

分解方式	分类依据	分量1	分量2	关系
零输入 + 零状态	物理成因	初始储能	外加激励	零输入 = 自然响应的一部分
自然 + 强迫	数学形式	齐次解	特解	零状态 = 自然响应其余部分 + 强迫响应
瞬态 + 稳态	时间行为	衰减部分	持久部分	自然响应可含瞬态和稳态

利用卷积求零状态响应的步骤

1. 确定系统的冲激响应 $h(t)$：求解系统在 $\delta (t)$ 激励下的零状态响应
2. 建立卷积积分：$y_{zs}(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau$
3. 确定积分限：根据 $x(t)$ 和 $h(t)$ 的非零区间确定
4. 分段计算：根据 $t$ 的不同取值范围分段计算积分
5. 求解零输入响应：求解齐次方程，利用初始条件确定系数
6. 叠加得到全响应：$y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)$

示例

设一阶系统微分方程为： $\frac{dy(t)}{dt}+2y(t)=x(t)$

已知 $y(0^{-})=1$，$x(t)=e^{-t}u(t)$。

冲激响应： $h(t)=e^{-2t}u(t)$

零输入响应： $y_{zi}(t)=y(0^{-})e^{-2t}u(t)=e^{-2t}u(t)$

零状态响应：

y_{zs}(t) &= x(t) * h(t) = e^{-t} u(t) * e^{-2t} u(t) / &= \int_{0}^{t} e^{-\tau} e^{-2(t-\tau)} d\tau \cdot u(t) / &= e^{-2t} \int_{0}^{t} e^{\tau} d\tau \cdot u(t) / &= e^{-2t} (e^{t} - 1) u(t) / &= (e^{-t} - e^{-2t}) u(t) \end{aligned} $$ **全响应**： $$ y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t) = e^{-2t} u(t) + (e^{-t} - e^{-2t}) u(t) = e^{-t} u(t) $$ **分解验证**： - 零输入响应：$e^{-2t} u(t)$（自然响应的一部分） - 零状态响应：$e^{-t} u(t) - e^{-2t} u(t)$（含自然响应 $-e^{-2t} u(t)$ 和强迫响应 $e^{-t} u(t)$） - 自然响应：$e^{-2t} u(t) - e^{-2t} u(t) = 0$（本例中自然响应抵消） - 强迫响应：$e^{-t} u(t)$（与激励形式相同） - 瞬态响应：全响应 $e^{-t} u(t)$（指数衰减，不含稳态分量） ## 卷积法求解的系统意义 利用卷积求全响应的方法具有以下优势： 1. **统一性**：只需知道系统的冲激响应 $h(t)$，即可通过卷积求出对任意输入信号的零状态响应 2. **模块化**：系统的时域特性完全由 $h(t)$ 刻画，将系统分析与输入信号分离 3. **直观性**：卷积的图解步骤直观展示了信号在系统中的处理过程 4. **扩展性**：卷积法可推广到离散时间系统（卷积和），以及傅里叶变换和拉普拉斯变换等变换域分析 ## 链接到 - 上一个知识点：[[Signals and System/02-连续时间系统时域分析/2.3 卷积概念与图解|2.3 卷积概念与图解]] - 下一个知识点：[[Signals and System/02-连续时间系统时域分析/2.5 线性系统时域模拟|2.5 线性系统时域模拟]]