跳变求法与换路定理

换路定理

换路定理描述了动态元件在开关动作瞬间的能量存储连续性。

在换路瞬间（ $t = 0$ 时刻），系统中的能量存储不能突变：

电容电压不跳变： $v_{C} (0^{+}) = v_{C} (0^{-})$
- 电容存储的能量为 $\frac{1}{2} C v_{C}^{2}$ ，能量不能突变，故电压不能突变
- 若换路瞬间电容电流为有限值，则电容电压保持连续
电感电流不跳变： $i_{L} (0^{+}) = i_{L} (0^{-})$
- 电感存储的能量为 $\frac{1}{2} L i_{L}^{2}$ ，能量不能突变，故电流不能突变
- 若换路瞬间电感电压为有限值，则电感电流保持连续

其中 $0^{-}$ 表示换路前瞬间， $0^{+}$ 表示换路后瞬间。

在直流稳态条件下，动态元件表现为：

这一性质可用于分析换路后的稳态响应。

当激励信号中含有冲激函数 $δ (t)$ 或其导数时，系统响应可能在 $t = 0$ 时刻发生跳变（即 $y (0^{+}) \neq = y (0^{-})$ ）。此时换路定理不再直接适用，需要使用冲激函数匹配法确定 $0^{+}$ 时刻的初始条件。

冲激函数匹配法基于微分方程两端对应项系数相等的原则。若方程右端含有 $δ (t)$ 项，则左端最高阶导数中必须包含 $δ (t)$ 项，进而导致低阶导数或函数本身出现跳变。

设微分方程为： $\frac{d y ( t )}{d t} + a y (t) = b δ (t)$

设 $\frac{d y ( t )}{d t}$ 中含有 $b δ (t)$ 项（方程右端系数决定），且可能有阶跃项： $\frac{d y ( t )}{d t} = b δ (t) + C u (t)$

两边积分（从 $0^{-}$ 到 $0^{+}$ ）： $y (0^{+}) - y (0^{-}) = b$

因此 $y (t)$ 在 $t = 0$ 处的跳变量为 $b$ ，即： $y (0^{+}) = y (0^{-}) + b$

对于高阶微分方程，需设各阶导数中含有的冲激项及其各阶导数，通过逐次积分确定跳变关系。