典型非周期信号的傅里叶变换
掌握若干基本非周期信号的傅里叶变换对，是应用傅里叶变换解决实际问题的基础。这些基本变换对可以通过傅里叶变换的定义式直接推导得到。
单边指数信号
单边指数信号定义为：
其傅里叶变换为：
幅度谱和相位谱分别为：
频谱特征：
- 频谱是连续的，低频分量幅度大 -随着 增大，幅度按 衰减
- a 越大，信号衰减越快，频谱越宽 -相位从 0到
双边指数信号
双边指数信号定义为：
其傅里叶变换为：
频谱特征：
- 实偶函数（时域的对称性传递到频域） 为实函数，相位为零（当 时） -每边按 衰减，收敛速度快于单边指数 -频谱在 处取最大值 2/a
矩形脉冲信号
矩形脉冲（门函数）定义为：
\begin{cases} $E, & |t| < \tau/2 /$ 0, \quad |t| > \tau/2 \end{cases}$$ 其傅里叶变换为： $$F(\omega) = E\tau \cdot \operatorname{Sa}\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) = E\tau \cdot \frac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega\tau/2}$$ 其中$/Sa(x) = /sin(x)/x$为抽样函数。 **频谱特征：** -主瓣集中在 $|\omega| < 2π/τ$的范围内，主瓣宽度为 $4π/τ$ -第一个零点出现在 $ω = ±2π/τ$处 -频谱有正负交替的旁瓣，幅度按 $1/ω$衰减 - 脉宽$\tau $越小，频谱越宽（时宽-带宽积为常数） $- F(0) = E\tau $（脉冲面积） ### 抽样函数的重要性质 $/Sa(x) = /sin(x)/x$在傅里叶分析中频繁出现： - 偶函数：$/Sa(-x) = /Sa(x)$ -零点在 $x = ±π, ±2π, ±3π, ...$ $- ∫_{-∞}^{∞} Sa(x) dx = π$ $- ∫_{-∞}^{∞} Sa²(x) dx = π$ ## 直流信号 直流信号 f(t) = 1（对所有 t）的傅里叶变换为： $$F(\omega) = 2\pi \delta(\omega)$$ 更一般地，$f(t) = A$的傅里叶变换为 $2πA δ(ω)$。 直流信号不满足绝对可积条件，但利用广义函数理论可以定义其傅里叶变换。物理意义：直流信号仅包含 $ω = 0$的频率分量，故频谱仅在零频处有一个冲激。 ## 符号函数 符号函数定义为： $$$\operatorname{/sgn}(t) =$ \begin{cases} 1, & t > 0 / -1, & t < 0 \end{cases}$$ 其傅里叶变换为： $$F(\omega) = \frac{2}{j\omega}$$ **频谱特征：** - 纯虚奇函数 -幅度按 $1/|ω|$衰减 - 不含直流分量（因为$\operatorname{sgn}(t)$是奇函数） 推导思路：将$\operatorname{sgn}(t)$视为双边指数信号 e^{-a|t|}当 $a→0$时乘上特定系数后的极限。 ## 单位冲激信号 单位冲激信号 $δ(t)$的傅里叶变换为： $$\mathcal{F}[\delta(t)] = 1$$ **物理意义：** 冲激信号包含所有频率分量，且各频率分量的幅度相等，相位为零。这是白噪声的数学理想化——理想白噪声的功率谱在所有频率上均匀分布。 **重要性质：** $- ℱ[δ(t - t₀)] = e^{-jωt₀}$（时移冲激的频谱为复数） $- ℱ[δ'(t)] = jω$（利用微分特性） $- ℱ[δ⁽ⁿ⁾(t)] = (jω)ⁿ$ ## 单位阶跃信号 单位阶跃信号 u(t) 的傅里叶变换为： $$U(\omega) = \pi \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}$$ **推导思路：** 阶跃信号可表示为$u(t) = 1/2 + (1/2)\operatorname{sgn}(t)$，因此其傅里叶变换为直流信号和符号函数变换的线性组合。 **物理意义：**阶跃信号在零频处有冲激（对应直流分量），同时包含按 $1/ω$衰减的交流分量。 ## 基本傅里叶变换对汇总 | 信号 $f(t)$ | 傅里叶变换 $F(\omega)$ | | --------------------------------------- | --------------------------------------------------------- | | $\delta(t)$ | $1$ | | $1$ | $2\pi\delta(\omega)$ | | $u(t)$ | $\pi\delta(\omega) + 1/(j\omega)$ | | $\operatorname{sgn}(t)$ | $2/(j\omega)$ | | $e^{-at}u(t), a>0$ | $1/(a + j\omega)$ | | $e^{-at}, a>0$ | $2a/(a^2 + \omega^2)$ | | 矩形脉冲 $E\cdot\operatorname{rect}(t/ au)$ | $E au\cdot\operatorname{Sa}(\omega au/2)$ | | $\cos(\omega_0 t)$ | $\pi[\delta(\omega-\omega_0) + \delta(\omega+\omega_0)]$ | | $\sin(\omega_0 t)$ | $j\pi[\delta(\omega+\omega_0) - \delta(\omega-\omega_0)]$ | 这些基本变换对是应用傅里叶变换性质推导更复杂信号频谱的基础。熟练掌握这些变换对可以大幅提高信号分析的效率。 ## 链接到 - 上一个知识点：[[Signals and System/03-傅里叶变换/3.5 傅里叶变换定义|3.5 傅里叶变换定义]] - 下一个知识点：[[Signals and System/03-傅里叶变换/3.7 傅里叶变换的性质|3.7 傅里叶变换的性质]]