3.9 抽样定理

抽样定理

抽样定理（Sampling Theorem）也称为奈奎斯特抽样定理（Nyquist Sampling Theorem）或香农抽样定理（Shannon Sampling Theorem），是连接连续时间信号与离散时间信号的桥梁，奠定了数字信号处理的理论基础。

时域抽样

抽样过程

对一个连续时间信号 f(t) 进行理想的均匀抽样，可以用抽样脉冲串与 f(t) 相乘来实现：

$f_s(t)=f(t)\cdot {\delta }_T(t)$

其中 ${\delta }_T(t)$为周期冲激串（抽样函数）：

${\delta }_T(t)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)$

T_s为抽样周期，对应的抽样频率为 $f_s=1/T_s$，角频率为 ${\omega }_s=2\pi /T_s$。

抽样后的信号$f_s(t)$可写为：

$f_s(t)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }f(n{T}_s)\delta (t-n{T}_s)$

即抽样信号是原连续信号在抽样时刻的数值序列乘以冲激函数。

抽样信号的频谱

根据频域卷积定理，时域乘积对应频域卷积。${\delta }_T(t)$的傅里叶变换为 $(2\pi /T_s)\Sigma \delta (\omega -n{\omega }_s)$，因此：

$F_s(\omega )=\frac{1}{2\pi }F(\omega )\ast \left[\frac{2\pi }{T_s}{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -n{\omega }_s)\right]=\frac{1}{T_s}{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }F(\omega -n{\omega }_s)$

**核心结论：**抽样信号的频谱是原信号频谱 $F(\omega )$以 ${\omega }_s$为周期进行周期延拓，幅度乘以$1/T_s$。

奈奎斯特抽样条件

无失真恢复的条件

要从抽样信号$f_s(t)$中无失真地恢复原连续信号 f(t)，频谱的周期延拓不能发生混叠（Aliasing）。这要求：

1.原信号 $f(t)$是带限信号，即其最高频率分量 ${\omega }_m$有限：$F(\omega )=0$当 $|\omega |>{\omega }_m$ 2. 抽样频率满足：

${\omega }_s\ge 2{\omega }_m\text{或}{f}_s\ge 2f_m$

奈奎斯特频率

• **奈奎斯特频率（Nyquist Frequency）${\omega }_N$：**信号最高频率的两倍，即 ${\omega }_N=2{\omega }_m$（或 $f_N=2f_m$）
• **奈奎斯特抽样率：**能够无失真恢复原始信号所需的最低抽样频率 ${\omega }_s=2{\omega }_m$
• **折叠频率 /奈奎斯特界限：$\ast \ast {\omega }_s/2$，即抽样频率的一半。抽样后高于此频率的分量会折叠到低频区造成混叠

混叠效应

当 ${\omega }_s<2{\omega }_m$时，频谱延拓的各周期之间发生重叠，称为混叠（Aliasing）。混叠会导致：

• 无法从抽样信号中恢复原始信号
• 高频成分被伪造成低频成分出现，造成失真
• 在音频中表现为音调降低、失真刺耳
• 在图像中表现为莫尔条纹、锯齿状边缘

理想低通滤波器恢复

当满足奈奎斯特条件时，可以通过理想低通滤波器从抽样信号中恢复原始信号：

$F(\omega )=F_s(\omega )\cdot H(\omega )$

其中理想低通滤波器的频率响应为：

\begin{cases} $T_s, & |\omega| < \omega_c /$ 0, \quad |\omega| > \omega_c \end{cases}$$ 截止频率 $ω_c$需满足 $ω_m ≤ ω_c ≤ ω_s/2$。通常取 $ω_c = ω_s/2 = ω_m$。 对应的时域冲激响应为： $$h(t) = \frac{T_s \omega_c}{\pi} \operatorname{Sa}(\omega_c t) = \frac{\sin(\omega_c t)}{\omega_c t / 2} \cdot \frac{T_s \omega_c}{\pi}$$ 因此恢复后的信号为： $$f(t) = f_s(t) * h(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT_s) \cdot \operatorname{Sa}\left(\frac{\pi}{T_s}(t - nT_s)\right)$$ 这称为抽样内插公式或 Whittaker-Shannon 重建公式。它表明原连续信号可以由其抽样值通过$/sinc$函数的内插精确重建。 ### 内插重建的物理意义 每个抽样点对应一个位于该时刻的$/Sa$函数（$/sinc$函数），所有$/sinc$函数加权求和即可恢复完整的连续信号。在抽样点处，只有当前抽样点的$/sinc$贡献非零（其他$/sinc$函数在该点过零点），因此重建信号精确通过所有抽样点。 ## 实际抽样 理想冲激抽样在物理上是不可实现的，实际系统中常使用以下抽样方式： **自然抽样（Natural Sampling）：** 使用宽度为$\tau $的周期矩形脉冲串代替冲激串抽样。此时抽样信号的频谱包络乘以$/Sa$函数（由脉冲宽度决定），频谱仍有周期延拓，但幅度按$/Sa$函数衰减。 **平顶抽样（Flat-Top Sampling）：** 每个抽样脉冲保持恒定值（保持电路），产生阶梯波形。这种抽样方式更为常用（如 ADC 的采样保持电路），但会引入孔径效应失真，可在恢复时通过补偿滤波器校正。 ## 抽样定理的应用 1. **模数转换（ADC）：** 连续信号数字化前必须满足奈奎斯特条件，否则需要抗混叠预滤波器 2. **数字信号处理：** 离散化后的信号可在数字域进行滤波、压缩、变换等处理 3. **数字通信：** 脉冲编码调制（PCM）、时分复用（TDM）的基础 4. **系统仿真：** 连续系统的数字仿真需要选择合适的仿真步长（抽样间隔） 5. **多媒体：** CD 音频（44.1 kHz 抽样率）、数字视频的抽样标准 ### 抗混叠滤波器 在实际抽样系统中，抽样前常使用低通滤波器（抗混叠滤波器）将信号的最高频率限制在 $ω_s/2$以内，即使信号可能包含高于该频率的分量，也可以在抽样前将其充分衰减，从而避免混叠失真。 ## 链接到 - 上一个知识点：[[Signals and System/03-傅里叶变换/3.8 卷积特性与频率响应|3.8 卷积特性与频率响应]] - 下一个知识点：[[Signals and System/03-傅里叶变换/3.10 能量谱与功率谱|3.10 能量谱与功率谱]] - 相关知识点：[[Signals and System/05-频域分析/5.1 抽样信号恢复|5.1 抽样信号恢复]]、[[Signals and System/05-频域分析/5.8 频分复用与时分复用|5.8 频分复用与时分复用]]