4.11 滤波器类型

滤波器类型

滤波器是对输入信号中不同频率分量进行选择性处理（允许或抑制）的系统。根据频率选择特性的不同，滤波器可分为若干基本类型。

所有理想滤波器均可用 $H(j\omega )$ 或 $H(s)$ 的零极点分布来表征。实际滤波器是对理想特性的近似实现。

低通滤波器

理想低通滤波器

理想低通滤波器允许 $|\omega |<{\omega }_c$ 的频率分量无失真通过，完全抑制 $|\omega |>{\omega }_c$ 的频率分量：

$$H(j\omega )=\{\begin{array}{llc}1,& |\omega |<{\omega }_c/0,& |\omega |>{\omega }_c\end{array}$$

• ${\omega }_c$ 为截止角频率（Cutoff Frequency）
• 相频特性在通带内应为线性相位（群延迟为常数）

一阶低通滤波器

实际最简单的低通滤波器，由一个电阻和一个电容组成（RC 低通滤波器）：

$$H(s)=\frac{1/RC}{s+1/RC}$$

• 极点在 $s=-1/RC$
• 幅频特性单调递减
• 截止频率 ${\omega }_c=1/RC$，此时 $|H(j{\omega }_c)|=1/\sqrt{2}\approx -3\text{dB}$

二阶低通滤波器

$$H(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$

• 极点位置由 $\zeta$（阻尼比）和 ${\omega }_n$（自然频率）决定
• 当 $\zeta <0.707$ 时，幅频特性在 ${\omega }_r={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2}$ 处出现谐振峰值
• 高阶低通滤波器可提供更陡的过渡带

零极点特征

低通滤波器的极点通常集中在左半平面靠近原点处，分子不含零点或零点在无穷远处。

高通滤波器

理想高通滤波器

理想高通滤波器允许 $|\omega |>{\omega }_c$ 的频率分量无失真通过，抑制 $|\omega |<{\omega }_c$ 的分量：

$$H(j\omega )=\{\begin{array}{llc}0,& |\omega |<{\omega }_c/1,& |\omega |>{\omega }_c\end{array}$$

一阶高通滤波器

最简单的高通滤波器可由 RC 电路构成（输出取自电阻两端）：

$$H(s)=\frac{s}{s+1/RC}$$

• 零点在 $s=0$
• 极点在 $s=-1/RC$
• 截止频率 ${\omega }_c=1/RC$

零极点特征

高通滤波器在原点处有一个或多个零点（抑制低频），极点分布在左半平面。分子次数与分母次数相等（高频增益为常数）。

带通滤波器

理想带通滤波器

带通滤波器允许 ${\omega }_l<|\omega |<{\omega }_h$ 范围内的频率分量通过，抑制其他频率分量：

$$H(j\omega )=\{\begin{array}{llc}1,& {\omega }_l<|\omega |<{\omega }_h/0,& \text{其他}\end{array}$$

二阶带通滤波器

典型的二阶带通滤波器：

$$H(s)=\frac{2\zeta {\omega }_{n}s}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$

• 零点在 $s=0$
• 共轭极点在 $-\zeta {\omega }_n\pm j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$
• 中心频率 ${\omega }_0={\omega }_n$
• 品质因数 $Q=1/(2\zeta )$，$Q$ 越大通带越窄，选择性越好

零极点特征

带通滤波器在原点有零点，同时在左半平面有一对共轭极点（靠近虚轴形成谐振峰）。通带宽度由极点距离虚轴的远近决定。

带阻滤波器

理想带阻滤波器

带阻滤波器抑制 ${\omega }_l<|\omega |<{\omega }_h$ 范围内的频率分量，允许其他频率分量通过：

$$H(j\omega )=\{\begin{array}{llc}0,& {\omega }_l<|\omega |<{\omega }_h/1,& \text{其他}\end{array}$$

特点

• 当 ${\omega }_l$ 和 ${\omega }_h$ 非常接近时，称为陷波滤波器（Notch Filter）
• 带阻滤波器在阻带频率范围内有零点（通常位于虚轴或靠近虚轴）
• 用于抑制特定频率的干扰（如 50Hz 工频干扰）

零极点特征

带阻滤波器在虚轴上（或靠近虚轴）有一对共轭零点，构成了阻带中心频率处的传输零点。

全通系统

定义

全通系统对所有频率分量的幅度增益相同，但改变其相位特性：

$$|H(j\omega )|=\text{常数},\forall \omega$$

一阶全通系统

$$H(s)=\frac{s-\alpha }{s+\alpha },\alpha >0$$

• 零点在 $s=\alpha$（右半平面）
• 极点在 $s=-\alpha$（左半平面）
• 零极点关于虚轴镜像对称
• 对所有频率 $|H(j\omega )|=1$

全通系统的零极点分布

全通系统的零极点分布满足镜像对称规律：每个右半平面的零点对应一个左半平面关于虚轴对称的极点：

$$H(s)=K\cdot \prod _i\frac{s-a_i}{s+a_i}\cdot \prod _i\frac{(s-{\alpha }_i{)}^2+{\beta }_i^2}{(s+{\alpha }_i{)}^2+{\beta }_i^2}$$

应用

全通系统主要用于相位校正和延迟均衡，不改变信号的幅度谱，只改变相位谱。

最小相移系统

定义

在所有具有相同幅频特性的系统中，相位变化最小的系统称为最小相移系统（Minimum-Phase System）。

特点

• 所有零点和极点均位于 左半平面（包括零点）
• 具有最小相位滞后特性
• 其逆系统也是稳定和因果的

非最小相移系统

若系统函数在右半平面有零点，则称为非最小相移系统（Non-minimum Phase System）。

分解定理：任何非最小相移系统可分解为最小相移系统与全通系统的级联：

$$H(s)=H_{\min }(s)\cdot H_{\text{ap}}(s)$$

其中 $H_{\min }(s)$ 包含所有左半平面的零极点，$H_{\text{ap}}(s)$ 包含所有右半平面的零点（以全通形式实现）。

滤波器特性对比总结

类型	通带	阻带	零极点特征
低通	$\omega <{\omega }_c$	$\omega >{\omega }_c$	极点靠近原点，无零点
高通	$\omega >{\omega }_c$	$\omega <{\omega }_c$	原点有零点
带通	${\omega }_l<\omega <{\omega }_h$	其余频率	共轭极点靠近虚轴，原点有零点
带阻	除 ${\omega }_l-{\omega }_h$ 外	${\omega }_l<\omega <{\omega }_h$	虚轴上有共轭零点
全通	全频率	无	零极点虚轴对称
最小相移	—	—	所有零极点在左半平面

链接到

• 上一个知识点：4.10 系统因果性与稳定性
• 下一个知识点：无（本章最后一个知识点）
• 相关知识点：6.10 数字滤波器