4.9 零极点分布与频响特性

零极点分布与频响特性

系统在正弦信号激励下的稳态响应特性称为频率响应，包含幅频特性 $|H(j\omega )|$ 和相频特性 $\angle H(j\omega )$。对于稳定系统，频率响应可通过在系统函数中令 $s=j\omega$ 获得：

$$H(j\omega )=H(s){|}_{s=j\omega }$$

零极点分布与系统的频率响应有着密切的几何关系，利用几何法可以直观地从零极点图判断系统的幅频和相频特性。

几何法原理

设系统函数的零极点形式为：

$$H(s)=K\cdot \frac{{\prod }_{i=1}^m(s-z_i)}{{\prod }_{j=1}^n(s-p_j)}$$

令 $s=j\omega$，则：

$$H(j\omega )=K\cdot \frac{{\prod }_{i=1}^m(j\omega -z_i)}{{\prod }_{j=1}^n(j\omega -p_j)}$$

在 $s$ 平面上，$j\omega -z_i$ 表示从零点 $z_i$ 到虚轴上点 $j\omega$ 的向量（零点向量），$j\omega -p_j$ 表示从极点 $p_j$ 到 $j\omega$ 的向量（极点向量）。

向量分解

设零点向量：

$$j\omega -z_i=A_i{e}^{j{\varphi }_i}$$

极点向量：

$$j\omega -p_j=B_j{e}^{j{\theta }_j}$$

其中 $A_i=|j\omega -z_i|$ 为零点向量的模长，${\varphi }_i=\angle (j\omega -z_i)$ 为幅角；$B_j=|j\omega -p_j|$ 为极点向量的模长，${\theta }_j=\angle (j\omega -p_j)$ 为幅角。

幅频特性

系统的幅频响应为：

$$|H(j\omega )|=|K|\cdot \frac{{\prod }_{i=1}^m{A}_i}{{\prod }_{j=1}^n{B}_j}=|K|\cdot \frac{{\prod }_{i=1}^m|j\omega -z_i|}{{\prod }_{j=1}^n|j\omega -p_j|}$$

核心规律：幅频特性等于各零点向量长度的乘积除以各极点向量长度的乘积，再乘以常数 $|K|$。

• 当 $\omega$ 变化时，各向量的长度随之变化，从而改变幅频特性
• 当 $\omega$ 接近零点时，零点向量变短，幅频特性出现谷值（零点越靠近虚轴，谷值越深）
• 当 $\omega$ 接近极点时，极点向量变短，幅频特性出现峰值（极点越靠近虚轴，峰值越高尖）
• 若零点恰在虚轴上，则该频率处 $H(j\omega )=0$（传输零点）
• 若极点在虚轴上则系统不稳定，将产生无穷大的谐振响应

相频特性

系统的相频响应为：

$$\angle H(j\omega )=\sum _{i=1}^m{\varphi }_i-\sum _{j=1}^n{\theta }_j+\angle K$$

核心规律：相频特性等于各零点向量幅角之和减去各极点向量幅角之和（再加上常数 $K$ 的幅角）。

• 零点对相位的贡献为正（相位超前）
• 极点对相位的贡献为负（相位滞后）
• 左半平面零极点产生相位滞后，右半平面零极点产生相位超前

典型零极点分布的频率响应

一阶系统（单极点）

$H(s)=\frac{1}{s+\alpha }$，极点在 $-\alpha$

• 幅频：$|H(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{{\omega }^2+{\alpha }^2}}$，单调递减
• 相频：$\angle H(j\omega )=-\arctan (\omega /\alpha )$，从 $0^{\circ }$ 到 $-90^{\circ }$
• 截止角频率 ${\omega }_c=\alpha$（幅值下降 3dB）
• 此为低通特性

二阶系统（共轭复极点）

$H(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$，极点在 $-\zeta {\omega }_n\pm j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$

• 幅频特性：在 ${\omega }_r={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2}$（$\zeta <0.707$）处出现谐振峰值
• 谐振峰值随阻尼比 $\zeta$ 减小而增大
• 相频特性：从 $0^{\circ }$ 变化到 $-180^{\circ }$，在 $\omega ={\omega }_n$ 处相位为 $-90^{\circ }$

几何法分析示例

RC 低通滤波器

$H(s)=\frac{1/RC}{s+1/RC}$，极点在 $p=-1/RC$

当 $\omega =0$ 时，极点向量长度 $B=1/RC$，$|H(0)|=1$（增益最大） 当 $\omega \to \infty$ 时，极点向量长度 $B\to \infty$，$|H(j\omega )|\to 0$（增益衰减） 当 $\omega =1/RC$ 时，$B=\sqrt{2}/RC$，$|H(j\omega )|=1/\sqrt{2}\approx -3\text{dB}$（截止频率）

LC 串联谐振电路

$H(s)=\frac{s/L}{s^2+1/LC}$，极点在 $\pm j/\sqrt{LC}$

极点在虚轴上，因此 $\omega =1/\sqrt{LC}$ 处产生谐振，系统为临界稳定。

频率响应的分类与识别

通过观察零极点分布，可以快速识别系统的滤波特性：

零极点分布特征	频率响应类型	说明
极点靠近原点，无零点	低通	低频增益大，高频衰减
零点靠近原点，有远处极点	高通	高频增益大，低频衰减
共轭极点靠近虚轴	带通/谐振	特定频率附近放大
零点在虚轴上	带阻/陷波	特定频率被抑制
零极点对称分布	全通	幅频特性平坦，仅改变相位
所有零极点在左半平面	最小相移	相同幅频下相位变化最小

频率响应的直观判断规则

1. 极点靠近虚轴形成凸起（峰值）：极点离虚轴越近，峰值越高越尖锐
2. 零点靠近虚轴形成凹陷（谷值）：零点离虚轴越近，凹陷越深，零点在虚轴上则完全抑制
3. 原点附近的零点/极点决定低频行为：原点附近有零点则低频衰减，有极点则低频放大
4. 无穷远处的零极点决定高频行为：分子次数低于分母次数则高频衰减（低通），相等等同则高频恒定

链接到

• 上一个知识点：4.8 零极点分布与时域特性
• 下一个知识点：4.10 系统因果性与稳定性