4.3 拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换的性质是信号与系统分析的重要工具。利用这些性质，可以方便地从已知变换对推导出复杂信号的拉普拉斯变换，而无需直接计算积分。

以下所有性质均针对单边拉普拉斯变换，设 $f(t)$ 和 $g(t)$ 为因果信号（$t<0$ 时为零），其拉普拉斯变换分别为 $F(s)$ 和 $G(s)$，收敛域分别为 ${\text{ROC}}_f$ 和 ${\text{ROC}}_g$。

线性性质

若 $a,b$ 为常数，则：

$$af(t)+bg(t)⟷aF(s)+bG(s)$$

收敛域：至少为 ${\text{ROC}}_f\cap {\text{ROC}}_g$。若线性组合后出现零极点相消，收敛域可能扩大。

示例：

$$\sin (\omega t)u(t)=\frac{1}{2j}\left(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}\right)u(t)⟷\frac{1}{2j}\left(\frac{1}{s-j\omega }-\frac{1}{s+j\omega }\right)=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$

时移性质

单边拉普拉斯变换的时移

若 $t_0\ge 0$，则：

$$f(t-t_0)u(t-t_0)⟷e^{-s{t}_0}F(s)$$

注意：该性质要求时移后信号在 $t<t_0$ 时为零（即因果信号的延迟）。对于 $t_0<0$（时间提前），由于单边变换从 $t=0$ 开始，情况不同。

时移性质的重要应用：表示矩形脉冲、延迟信号等。

示例：矩形脉冲 $p(t)=u(t)-u(t-T)$ 的拉普拉斯变换为：

$$P(s)=\frac{1}{s}-\frac{e^{-sT}}{s}=\frac{1-e^{-sT}}{s}$$

双边拉普拉斯变换的时移

对于双边拉普拉斯变换，时移性质对任意 $t_0$ 成立：

$$f(t-t_0)⟷e^{-s{t}_0}{F}_B(s)$$

收敛域不变。

频移（复频移）性质

$$e^{\alpha t}f(t)u(t)⟷F(s-\alpha )$$

收敛域：$\text{Re}[s]\in {\text{ROC}}_f+\text{Re}[\alpha ]$（收敛域边界平移 $\text{Re}[\alpha ]$）。

物理意义：将信号乘以复指数 $e^{\alpha t}$，在 $s$ 域表现为变换函数的平移。这是调制和衰减现象在 $s$ 域的体现。

示例：已知 $u(t)⟷\frac{1}{s}$，利用频移性质得：

$$e^{-\alpha t}u(t)⟷\frac{1}{s+\alpha }$$

尺度变换

若 $a>0$，则：

$$f(at)⟷\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)$$

收敛域：$\text{Re}[s]\in a\cdot {\text{ROC}}_f$。

物理意义：时域压缩对应 $s$ 域扩展，时域扩展对应 $s$ 域压缩。

示例：已知 $e^{-t}u(t)⟷\frac{1}{s+1}$，则：

$$e^{-2t}u(2t)⟷\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac{s}{2}+1}=\frac{1}{s+2}$$

时域微分性质

$$\frac{df(t)}{dt}⟷sF(s)-f(0^{-})$$

一般形式（$n$ 阶导数）：

$$\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}⟷s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-s^{n-2}{f}^{\prime }(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})$$

重要说明：

• $f(0^{-})$ 为 $f(t)$ 在 $t=0^{-}$ 时刻的值（初始条件）
• 该性质自动包含了初始条件，这正是拉普拉斯变换能够将微分方程转化为代数方程的关键原因
• 若 $f(t)$ 在 $t=0$ 处有跳变，必须使用 $0^{-}$ 而非 $0^{+}$

示例：对 $RC$ 电路的微分方程 $RC\frac{d{v}_c(t)}{dt}+v_c(t)=v_s(t)$ 两边取拉普拉斯变换：

$$RC[s{V}_c(s)-v_c(0^{-})]+V_c(s)=V_s(s)$$

时域积分性质

$${\int }_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau ⟷\frac{F(s)}{s}$$

收敛域：${\text{ROC}}_f\cap \{\text{Re}[s]>0\}$。

多重积分：

$${\int }_{0^{-}}^t{\int }_{0^{-}}^{{\tau }_1}\cdots {\int }_{0^{-}}^{{\tau }_{n-1}}f({\tau }_n)d{\tau }_n\cdots d{\tau }_1⟷\frac{F(s)}{s^n}$$

示例：已知 $\delta (t)⟷1$，由积分性质得：

$$u(t)={\int }_{0^{-}}^t\delta (\tau )d\tau ⟷\frac{1}{s}$$

卷积定理

时域卷积定理

$$f(t)\ast g(t)={\int }_{0^{-}}^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau ⟷F(s)\cdot G(s)$$

收敛域：至少为 ${\text{ROC}}_f\cap {\text{ROC}}_g$。

物理意义：时域卷积对应 $s$ 域乘积。这是拉普拉斯变换分析系统的核心性质——系统响应的 $s$ 域表达等于激励的 $s$ 域表达式乘以系统函数。

复频域卷积定理

$$f(t)g(t)⟷\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }F(p)G(s-p)dp$$

初值定理

若 $f(t)$ 及其导数存在拉普拉斯变换，且 ${\lim }_{s\to \infty }sF(s)$ 存在，则：

$$f(0^{+})=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=\underset{s\to \infty }{\lim }sF(s)$$

使用条件：$F(s)$ 为有理真分式（或可化为真分式）。

示例：已知 $F(s)=\frac{1}{s+\alpha }$，则：

$$f(0^{+})=\underset{s\to \infty }{\lim }s\cdot \frac{1}{s+\alpha }=1$$

与 $e^{-\alpha t}u(t)$ 在 $t=0^{+}$ 处的值一致。

终值定理

若 $f(t)$ 存在终值且 $sF(s)$ 在 $s=0$ 处无极点，则：

$$f(\infty )=\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$$

使用条件：

• $sF(s)$ 的所有极点均在左半平面（$\text{Re}[s]<0$）
• $sF(s)$ 在 $s=0$ 处最多有一个极点（否则终值不存在）

示例：已知 $F(s)=\frac{1}{s(s+1)}$，则：

$$f(\infty )=\underset{s\to 0}{\lim }s\cdot \frac{1}{s(s+1)}=1$$

$s$ 域微分

$$(-t{)}^{n}f(t)⟷\frac{d^{n}F(s)}{d{s}^n}$$

示例：已知 $u(t)⟷\frac{1}{s}$，则：

$$tu(t)⟷-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{s^2}$$

$s$ 域积分

$$\frac{f(t)}{t}⟷{\int }_s^{\infty }F(p)dp$$

示例：已知 $\sin t\cdot u(t)⟷\frac{1}{s^2+1}$，则：

$$\frac{\sin t}{t}u(t)⟷{\int }_s^{\infty }\frac{1}{p^2+1}dp=\frac{\pi }{2}-\arctan (s)$$

性质总结表

性质	时域	$s$ 域
线性	$af(t)+bg(t)$	$aF(s)+bG(s)$
时移	$f(t-t_0)u(t-t_0)$	$e^{-s{t}_0}F(s)$
频移	$e^{\alpha t}f(t)$	$F(s-\alpha )$
尺度变换	$f(at)$	$\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$
时域微分	$\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}$	$s^{n}F(s)-{\sum }_{k=0}^{n-1}{s}^{n-1-k}{f}^{(k)}(0^{-})$
时域积分	${\int }_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau$	$\frac{F(s)}{s}$
时域卷积	$f(t)\ast g(t)$	$F(s)G(s)$
初值定理	$f(0^{+})$	${\lim }_{s\to \infty }sF(s)$
终值定理	$f(\infty )$	${\lim }_{s\to 0}sF(s)$
$s$ 域微分	$(-t)f(t)$	$\frac{d}{ds}F(s)$
$s$ 域积分	$\frac{f(t)}{t}$	${\int }_s^{\infty }F(p)dp$

链接到

• 上一个知识点：4.2 拉普拉斯变换收敛域
• 下一个知识点：4.4 拉普拉斯逆变换