5.3 理想低通滤波器

理想低通滤波器

定义与频率响应特性

理想低通滤波器（Ideal Low-Pass Filter）是一种数学模型，它让低于截止频率 ${\omega }_c$ 的所有频率分量无失真通过，而完全抑制高于 ${\omega }_c$ 的频率分量。其频率响应定义为：

$$H(\omega )=\{\begin{array}{llc}{e}^{-j\omega t_0},& |\omega |\le {\omega }_c/0,& |\omega |>{\omega }_c\end{array}$$

其中 ${\omega }_c$ 为截止频率（Cutoff Frequency），$t_0$ 为群时延（常数）。理想低通滤波器同时满足通带内无失真传输条件。

幅频特性：

$$|H(\omega )|=\{\begin{array}{llc}1,& |\omega |\le {\omega }_c/0,& |\omega |>{\omega }_c\end{array}$$

相频特性：

$$\varphi (\omega )=-\omega t_0,|\omega |\le {\omega }_c$$

冲激响应

理想低通滤波器的冲激响应 $h(t)$ 是其频率响应的傅里叶逆变换：

$$h(t)={\mathcal{F}}^{-1}\{H(\omega )\}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-{\omega }_c}^{{\omega }_c}{e}^{-j\omega t_0}{e}^{j\omega t}d\omega$$

计算积分可得：

$$h(t)=\frac{{\omega }_c}{\pi }\cdot \mathrm{Sa}[{\omega }_c(t-t_0)]=\frac{{\omega }_c}{\pi }\cdot \frac{\sin [{\omega }_c(t-t_0)]}{{\omega }_c(t-t_0)}$$

其中 $\mathrm{Sa}(x)=\frac{\sin x}{x}$ 为抽样函数（Sampling Function）。

冲激响应的关键性质

1. 非因果性：$h(t)$ 在 $t<0$ 时不为零（在 $t=0$ 之前已有响应），这说明理想低通滤波器在物理上是不可实现的
2. 主瓣宽度：主瓣宽度为 $2\pi /{\omega }_c$，与截止频率成反比——截止频率越高，冲激响应越窄
3. 过零点：零点出现在 ${\omega }_c(t-t_0)=n\pi$ 处，即 $t=t_0\pm n\pi /{\omega }_c$，$n=1,2,\dots$
4. 峰值时刻：峰值出现在 $t=t_0$ 时刻，幅值为 ${\omega }_c/\pi$

阶跃响应

理想低通滤波器在单位阶跃信号 $u(t)$ 激励下的响应为：

$$s(t)={\int }_{-\infty }^{t}h(\tau )d\tau =\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\mathrm{Si}[{\omega }_c(t-t_0)]$$

其中 $\mathrm{Si}(x)={\int }_0^x\frac{\sin u}{u}du$ 为正弦积分函数（Sine Integral Function）。

阶跃响应的关键参数

上升时间（Rise Time）：

$$t_r=\frac{2\pi }{{\omega }_c}$$

上升时间 $t_r$ 定义为阶跃响应从最小值上升到最大值所需的时间。可见，截止频率越高，上升时间越短，响应速度越快。这是一个基本的折中关系——带宽越宽，时域响应越快。

过冲（Overshoot）： 阶跃响应在 $t=t_0$ 附近出现过冲现象，最大过冲量约为 9%（吉布斯现象），这一数值不随截止频率改变，体现了傅里叶级数在间断点处的固有特性。

阶跃响应的特点：

• 响应开始前（$t\ll t_0$）已有预兆，再次印证非因果性
• $s(t)$ 在 $t=t_0+\pi /{\omega }_c$ 处达到最大值，随后衰减振荡
• 响应建立时间与系统带宽成反比

矩形脉冲响应

理想低通滤波器对矩形脉冲 $p(t)=u(t)-u(t-T_0)$ 的响应可通过阶跃响应叠加求得：

$$y(t)=s(t)-s(t-T_0)$$

其中 $s(t)$ 为阶跃响应。矩形脉冲响应的波形特点：

• 脉冲前后沿均被展宽，展宽程度取决于滤波器带宽
• 脉冲波形出现振铃效应（Ringing Effect），即脉冲附近出现振荡
• 脉冲越窄（高频成分越多），失真越严重
• 若脉冲宽度远大于上升时间（$T_0\gg t_r$），则输出近似于输入

理想低通的非因果性与物理不可实现性

理想低通滤波器在物理上不可实现的原因：

• 时域非因果性：冲激响应 $h(t)$ 在 $t<0$ 时不为零——系统在输入施加之前就产生响应，违反因果律
• 佩利-维纳准则：理想低通滤波器的 $|H(\omega )|$ 在 $\omega >{\omega }_c$ 处严格为零，不满足佩利-维纳准则的可实现性条件

因此理想低通滤波器是一个理想化模型，实际滤波器只能在有限带宽内逼近其特性，如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器等。

带宽与时间的折中关系

理想低通滤波器揭示了信号处理中一个根本性的折中关系：

• 带宽越大，时域响应越快，上升时间越短，但实现难度和噪声引入也越大
• 带宽越小，时域响应越慢，信号失真越严重

这一关系是傅里叶分析中不确定原理的体现：信号的时宽和频宽不能同时任意小，二者之积存在下限。

链接到

• 上一个知识点：5.2 无失真传输条件
• 下一个知识点：5.4 系统函数的频域分析