6.9 离散系统频率响应

离散系统频率响应

离散LTI系统的频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应特性，是系统函数在单位圆上的取值，反映了系统的滤波特性。

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频率响应的定义

基本定义

对于稳定的离散LTI系统，频率响应定义为系统函数在单位圆上的取值：

$$H(e^{j\Omega })=H(z){|}_{z=e^{j\Omega }}$$

其中 $\Omega$ 为数字频率（归一化频率），取值范围通常为 $\Omega \in [-\pi ,\pi ]$。

物理意义

当系统输入为复指数序列 $x[n]=e^{j\Omega n}$ 时，输出为：

$$y[n]=H(e^{j\Omega })e^{j\Omega n}$$

即复指数序列是离散LTI系统的特征函数，系统只改变其幅度和相位，不改变频率。

对于正弦输入 $x[n]=\cos ({\Omega }_{0}n)$，稳态输出为：

$$y[n]=|H(e^{j{\Omega }_0})|\cos \left({\Omega }_{0}n+\angle H(e^{j{\Omega }_0})\right)$$

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幅频响应与相频响应

幅频响应（Magnitude Response）

$$|H(e^{j\Omega })|=\left|H(z){|}_{z=e^{j\Omega }}\right|$$

表示系统对各频率成分的幅度增益，通常以分贝（dB）表示：

$$|H(e^{j\Omega }){|}_{\text{dB}}=20{\log }_{10}|H(e^{j\Omega })|$$

相频响应（Phase Response）

$$\phi (\Omega )=\angle H(e^{j\Omega })$$

表示系统对各频率成分产生的相移。

群延迟（Group Delay）

群延迟定义为相位响应对频率的负导数：

$${\tau }_g(\Omega )=-\frac{d\phi (\Omega )}{d\Omega }$$

群延迟表示不同频率分量通过系统后的时间延迟。线性相位系统（$\phi (\Omega )=-\alpha \Omega$）具有常数群延迟，信号波形无失真。

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几何法确定频率响应

基本原理

对于有理系统函数：

$$H(z)=K\frac{{\prod }_{m=1}^M(z-z_m)}{{\prod }_{k=1}^N(z-p_k)}$$

频率响应为：

$$H(e^{j\Omega })=K\frac{{\prod }_{m=1}^M(e^{j\Omega }-z_m)}{{\prod }_{k=1}^N(e^{j\Omega }-p_k)}$$

几何意义

在z平面上，$e^{j\Omega }-z_m$ 表示从零点 $z_m$ 到单位圆上点 $e^{j\Omega }$ 的向量，$e^{j\Omega }-p_k$ 表示从极点 $p_k$ 到 $e^{j\Omega }$ 的向量。

幅度响应

$$|H(e^{j\Omega })|=|K|\frac{{\prod }_{m=1}^M|e^{j\Omega }-z_m|}{{\prod }_{k=1}^N|e^{j\Omega }-p_k|}$$

• 分子：各零点到单位圆上点的距离之积
• 分母：各极点到单位圆上点的距离之积

相位响应

$$\phi (\Omega )=\angle K+\sum _{m=1}^M\angle (e^{j\Omega }-z_m)-\sum _{k=1}^N\angle (e^{j\Omega }-p_k)$$

直观规律

• 极点对频率响应起”增强”作用（距离越近，增益越大），产生谐振峰
• 零点对频率响应起”减弱”作用（距离越近，衰减越大），产生陷波
• 单位圆附近的极点产生尖锐的谐振峰
• 单位圆上的零点产生完全的零传输（陷波点）

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频率响应与iir/fir滤波特性

低通特性

极点靠近 $\Omega =0$（$z=1$ 附近），零点在 $\Omega =\pi$（$z=-1$ 附近），低频信号增益大，高频信号衰减大。

高通特性

极点靠近 $\Omega =\pi$（$z=-1$ 附近），零点在 $\Omega =0$（$z=1$ 附近），高频信号增益大，低频信号衰减大。

带通特性

共轭极点位于 $\Omega =\pm {\Omega }_0$ 附近（靠近单位圆），在 $\Omega =0$ 和 $\Omega =\pi$ 处设零点。

带阻特性

零点位于 $\Omega =\pm {\Omega }_0$ 附近（通常在单位圆上），用于在特定频率产生陷波。

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重要频率点

$\Omega =0$（直流）

$$e^{j0}=1$$

• 对应模拟频率 $\omega =0$（直流）
• 所有零极点到 $z=1$ 的向量反映了系统的直流增益

$\Omega =\pi$（最高频率）

$$e^{j\pi }=-1$$

• 对应模拟频率 $\omega ={\omega }_s/2=\pi /T$（奈奎斯特频率）
• 是离散时间系统能处理的最高频率

$\Omega =\pi /2$

$$e^{j\pi /2}=j$$

• 对应模拟频率 $\omega ={\omega }_s/4$

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频率响应的周期性

由于DTFT以 $2\pi$ 为周期，频率响应也是 $2\pi$ 的周期函数：

$$H(e^{j(\Omega +2\pi )})=H(e^{j\Omega })$$

因此通常观察 $\Omega \in [0,\pi ]$（或 $[-\pi ,\pi ]$）即可得到完整信息。

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频率响应的对称性

对于实系数系统（$h[n]$ 为实序列）：

• 幅度响应为偶函数：$|H(e^{j\Omega })|=|H(e^{-j\Omega })|$
• 相位响应为奇函数：$\angle H(e^{j\Omega })=-\angle H(e^{-j\Omega })$
• 只需观察 $\Omega \in [0,\pi ]$ 即可

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频率响应求解示例

例：一阶系统

系统函数 $H(z)=\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$，$|a|<1$（因果稳定）

频率响应：

$$H(e^{j\Omega })=\frac{1}{1-a{e}^{-j\Omega }}=\frac{1}{1-a\cos \Omega +ja\sin \Omega }$$

幅频响应：

$$|H(e^{j\Omega })|=\frac{1}{\sqrt{1+a^2-2a\cos \Omega }}$$

相频响应：

$$\phi (\Omega )=-\arctan \left(\frac{a\sin \Omega }{1-a\cos \Omega }\right)$$

• 当 $a>0$ 时：系统具有低通特性（极点靠近 $z=1$）
• 当 $a<0$ 时：系统具有高通特性（极点靠近 $z=-1$）
• $|a|$ 越接近1，幅频响应的选择性越强

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