7.5 离散信号的运算

离散信号的运算

离散时间信号（序列）的运算是离散系统分析的基本操作。通过基本运算，可以构造复杂信号，分析和处理系统响应。

序列的平移（移位）

将序列 $x[n]$ 沿 $n$ 轴整体移动 $m$ 个位置：

$$y[n]=x[n-m]$$

• $m>0$：序列向右移动（延时），新序列是 $x[n]$ 滞后 $m$ 个采样点
• $m<0$：序列向左移动（超前），新序列是 $x[n]$ 提前 $|m|$ 个采样点

示例：$x[n-2]$ 表示将 $x[n]$ 向右平移 2 个单位。若 $x[0]=a$，则 $y[2]=x[0]=a$。

序列的反褶（反转）

序列 $x[n]$ 的反褶定义为以 $n=0$ 为轴进行翻转：

$$y[n]=x[-n]$$

• 将原序列以纵轴为对称轴进行镜像翻转
• 对于因果系统，反褶操作常用于卷积和计算中的”翻褶”步骤

序列的尺度变换

离散信号的尺度变换与连续信号有很大区别。由于 $n$ 只能取整数，不能简单地缩放自变量。

抽取（Decimation）

对序列进行降采样操作，每隔 $M$ 个点取一个值：

$$y[n]=x[Mn],M\in {\mathbb{Z}}^{+}$$

• 相当于在时间轴上压缩 $M$ 倍
• 结果序列的长度减少为原来的 $1/M$
• 可能引起信号信息的丢失（混叠）

插值（Interpolation）

对序列进行升采样操作，在相邻样值间插入零值：

$$y[n]=\{\begin{array}{llc}x[n/L],& n=0,\pm L,\pm 2L,\dots /0,& \text{其他}\end{array}$$

• 相当于在时间轴上扩展 $L$ 倍
• 结果序列的长度增加为原来的 $L$ 倍
• 通常需要后续的低通滤波来平滑信号

序列的相加

两个序列对应位置的值相加：

$$y[n]=x_1[n]+x_2[n]$$

定义域为两个序列定义域的并集。若某点在其中一个序列中无定义，则通常将该点视为 0 或不做定义。

序列的相乘

两个序列对应位置的值相乘：

$$y[n]=x_1[n]\cdot x_2[n]$$

定义域同样为两个序列定义域的并集。相乘运算在信号调制、加窗处理中非常常见。

序列的差分运算

差分是离散系统中对应于微分的运算。

前向差分

$$\Delta x[n]=x[n+1]-x[n]$$

表示序列在 $n$ 点处的变化趋势，使用 $n+1$ 时刻的值与 $n$ 时刻的值之差。

后向差分

$$\nabla x[n]=x[n]-x[n-1]$$

使用 $n$ 时刻的值与 $n-1$ 时刻的值之差。后向差分在因果系统中更常用，因为它不涉及未来时刻的值。

差分与微分的关系

$${\frac{dx(t)}{dt}|}_{t=n{T}_s}\approx \frac{x[n]-x[n-1]}{T_s}$$

其中 $T_s$ 为采样间隔，当 $T_s$ 足够小时，差分近似等于微分。

高阶差分

二阶后向差分定义为：

$${\nabla }^{2}x[n]=\nabla (\nabla x[n])=x[n]-2x[n-1]+x[n-2]$$

$k$ 阶后向差分一般形式为：

$${\nabla }^{k}x[n]=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i{C}_k^{i}x[n-i]$$

序列的累加（累和）

累加是离散系统中对应于积分的运算：

$$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]$$

• 输出 $y[n]$ 是 $x[n]$ 从 $-\infty$ 到 $n$ 的所有样值之和
• 累加与差分互为逆运算（当考虑初始条件时）
• 累加运算可用于从单位样值信号得到单位阶跃序列：$u[n]={\sum }_{k=-\infty }^n\delta [k]$

累加与差分的关系：

$$\nabla \left(\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\right)=x[n]$$ $$\sum _{k=-\infty }^n\nabla x[k]=x[n]-x[-\infty ]$$

序列的能量

序列 $x[n]$ 的归一化能量定义为所有样值模平方的和：

$$E=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2$$

• 若 $E<\infty$，称 $x[n]$ 为能量有限序列（能量信号）
• 能量反映了信号强度在时域的累积

运算组合与系统实现

离散系统的各种运算可以通过基本运算单元的组合来实现：

• 单位延时器（$z^{-1}$）实现平移
• 加法器实现序列相加
• 乘法器实现序列相乘
• 这些基本单元的组合可以构成任意复杂度的离散时间系统

链接到

• 上一个知识点：7.4 常用典型序列
• 下一个知识点：7.6 离散时间信号与序列