8.1 DFT离散傅里叶变换

DFT离散傅里叶变换

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是对有限长离散时间序列进行频域分析的数学工具。DFT在时域和频域都是离散的，这使得它特别适合在计算机上实现数字信号处理。

定义

对于长度为 $N$ 的离散序列 $x[n]$（$n=0,1,\dots ,N-1$），其DFT定义为：

$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn},k=0,1,\dots ,N-1$$

其中 $k$ 为频域索引，对应数字频率 ${\omega }_k=\frac{2\pi }{N}k$。

逆离散傅里叶变换（IDFT）定义为：

$$x[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]e^{j\frac{2\pi }{N}kn},n=0,1,\dots ,N-1$$

DFT与DTFT的关系

离散时间傅里叶变换（DTFT）是序列的连续频谱函数：

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$

DFT可以理解为DTFT在频域上的等间隔抽样。对 $x[n]$ 的DTFT在 $[0,2\pi )$ 区间内均匀抽取 $N$ 个点：

$$X[k]=X(e^{j\omega }){|}_{\omega =\frac{2\pi }{N}k},k=0,1,\dots ,N-1$$

因此，DFT是DTFT的频域离散化版本，适用于计算机的数值计算。

DFT性质

线性性质：DFT是线性变换，满足叠加性和齐次性。

圆周移位性质：序列的圆周移位对应其DFT乘以相位因子：

$$x[(n-m{)}_N]⟷X[k]e^{-j\frac{2\pi }{N}km}$$

其中 $(\cdot {)}_N$ 表示模 $N$ 运算。

圆周卷积定理：时域圆周卷积对应频域相乘：

$$x_1[n]⊛x_2[n]⟷X_1[k]\cdot X_2[k]$$

其中 $⊛$ 表示圆周卷积。圆周卷积与线性卷积在 $N$ 足够大（$N\ge N_1+N_2-1$）时等价。

帕斯瓦尔定理：时域能量等于频域能量除以 $N$：

$$\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]{|}^2=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]{|}^2$$

DFT的局限性

• 频率分辨率：DFT的频率分辨率受序列长度限制，为 $\Delta \omega =2\pi /N$。要提高分辨率需增加序列长度 $N$
• 频谱泄漏：对非整周期截断的信号进行DFT时，频谱能量会泄漏到相邻的频率点，可通过加窗函数缓解
• 栅栏效应：DFT仅给出离散频率点上的频谱值，可能遗漏频谱的精细结构

快速傅里叶变换（FFT）

FFT（Fast Fourier Transform）是DFT的高效算法，将DFT的计算复杂度从 $O(N^2)$ 降低到 $O(N\log N)$。最常用的FFT算法是Cooley-Tukey算法（基-2时域抽取法），通过分治策略将 $N$ 点DFT分解为两个 $N/2$ 点DFT的递归计算。FFT的提出极大地推动了数字信号处理技术的实际应用。

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