离散系统状态方程的求解
递推法（时域法）
递推求解
由初始状态 和输入 递推得到任意时刻的状态：
已知 ：
x(1) &= \mathbf{A}x(0) + \mathbf{B}f(0) / x(2) &= \mathbf{A}x(1) + \mathbf{B}f(1) = \mathbf{A}^2 x(0) + \mathbf{A}\mathbf{B}f(0) + \mathbf{B}f(1) / &\vdots / x(n) &= \mathbf{A}^n x(0) + \sum_{k=0}^{n-1} \mathbf{A}^{n-1-k} \mathbf{B}f(k) \end{aligned}$$ ### 状态转移矩阵 - $\mathbf{A}^n$ 称为离散系统的状态转移矩阵。 - $\mathbf{A}^n$ 描述了系统从初始状态到 $n$ 时刻状态的转移。 - 零输入响应：$\mathbf{A}^n x(0)$ - 零状态响应：$\sum_{k=0}^{n-1} \mathbf{A}^{n-1-k} \mathbf{B}f(k)$ ### 输出响应 $$\mathbf{y}(n) = \mathbf{C}\mathbf{A}^n x(0) + \mathbf{C}\sum_{k=0}^{n-1} \mathbf{A}^{n-1-k} \mathbf{B}f(k) + \mathbf{D}f(n)$$ ### 特点 - 适合计算机迭代计算。 - 物理意义清晰，可直观观察状态演化过程。 - $n$ 较大时计算量累积，可能产生误差。 ## z变换法（变换域法） ### 状态方程的z变换 对方程 $x(n+1) = \mathbf{A}x(n) + \mathbf{B}f(n)$ 两边取z变换： $$\mathbf{X}(z) = (\mathbf{zI} - \mathbf{A})^{-1} z x(0) + (\mathbf{zI} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} \mathbf{F}(z)$$ ### 求解步骤 1. 计算 $(\mathbf{zI} - \mathbf{A})^{-1}$。 2. 代入初始状态 $x(0)$ 和输入 $\mathbf{F}(z)$。 3. 得到 $\mathbf{X}(z)$ 后进行z逆变换求得 $x(n)$。 ### 与递推法的关系 - $x(n) = \mathcal{Z}^{-1}\{(\mathbf{zI} - \mathbf{A})^{-1} z\} x(0) = \mathbf{A}^n x(0)$ - 即 $\mathcal{Z}^{-1}\{(\mathbf{zI} - \mathbf{A})^{-1} z\} = \mathbf{A}^n$，这与连续系统中 $e^{\mathbf{A}t} = \mathcal{L}^{-1}\{(\mathbf{sI} - \mathbf{A})^{-1}\}$ 对应。 ## 系统函数矩阵 ### 定义 $$\mathbf{H}(z) = \mathbf{C}(\mathbf{zI} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B} + \mathbf{D}$$ - $\mathbf{H}(z)$ 是 $p \times m$ 矩阵。 - 元素 $H_{ij}(z)$ 表示第 $j$ 个输入到第 $i$ 个输出的脉冲传递函数。 ### 性质 - $\mathbf{H}(z)$ 与状态变量选取无关，是系统的固有特性。 - $\mathbf{H}(z)$ 的极点等于 $\mathbf{A}$ 矩阵的特征值，决定了系统的稳定性。 - 系统函数矩阵可通过 $\mathbf{y}(n) = \mathbf{C}x(n) + \mathbf{D}f(n)$ 和状态方程的z变换导出。 ## 连续系统与离散系统对比 | 方面 | 连续系统 | 离散系统 | |------|----------|----------| | 状态方程 | $\dot{x} = \mathbf{A}x + \mathbf{B}f$ | $x(n+1) = \mathbf{A}x(n) + \mathbf{B}f(n)$ | | 状态转移矩阵 | $e^{\mathbf{A}t}$ | $\mathbf{A}^n$ | | 变换域 | 拉普拉斯变换 | z变换 | | 预解矩阵 | $(\mathbf{sI} - \mathbf{A})^{-1}$ | $(\mathbf{zI} - \mathbf{A})^{-1}$ | | 系统函数 | $\mathbf{H}(s) = \mathbf{C}(\mathbf{sI} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B} + \mathbf{D}$ | $\mathbf{H}(z) = \mathbf{C}(\mathbf{zI} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B} + \mathbf{D}$ | ## 链接到 - 上一个知识点：[[Signals and System/09-系统状态变量分析/9.2 离散系统状态方程的建立|9.2 离散系统状态方程的建立]] - 下一个知识点：[[Signals and System/09-系统状态变量分析/9.4 连续系统状态方程的建立|9.4 连续系统状态方程的建立]]