浮点数的分类与舍入

IEEE 754 根据指数位（exp）和小数位（frac）的不同组合，将浮点数分为三类。

三类浮点数

条件：exp 不全为0且不全为1

这是最常见的浮点数形式。尾数的计算公式为：

M = 1 + f = 1 + i = 1 \sum n \frac{b _{i}}{2 ^{i}}

其中 $b_{i}$ 是 frac 部分的各位（高位开始）。这里的 隐含1（leading 1）是规格化数的关键特征——尾数部分实际有 $1 + n$ 位精度，但只显式存储了小数部分。

V = (- 1)^{s} \times (1 + f) \times 2^{e - Bias}

条件：exp 全为0

非规格化数用于表示0和非常接近0的数。

尾数公式：

M = f = i = 1 \sum n \frac{b _{i}}{2 ^{i}}

指数固定为：

E = 1 - Bias

V = (- 1)^{s} \times f \times 2^{1 - Bias}

重要特性：

条件：exp 全为1

无穷大（Infinity）：exp 全1, frac 全0
- $+ \infty$ （s=0）和 $- \infty$ （s=1）
- 在溢出或除以0时产生
NaN（Not a Number）：exp 全1, frac 不全0
- 表示无效运算的结果（如 $- 1$ , $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ ）
- NaN的frac部分可以承载诊断信息（quiet NaN vs signaling NaN）

浮点数在数轴上的分布并不均匀：

这反映了浮点数的精度特点——相对精度大致恒定，但绝对精度随数值大小变化。

IEEE 754 定义了四种舍入模式：

模式	说明
向偶舍入（Round-to-Even）	默认模式，也是最常用的。舍入到最接近的值，恰好在中点时间向使最低有效位为偶数的方向舍入
向零舍入	直接截断多余位数
向下舍入（向 $- \infty$ ）	向更小的方向舍入
向上舍入（向 $+ \infty$ ）	向更大的方向舍入

如果不采用向偶舍入而采用简单的”四舍五入”或者”向上舍入”，会引入统计上的偏差。向偶舍入在50%的情况下向上、50%的情况下向下，长期统计不会产生系统性偏差。