十进制与二进制小数转换

乘2取整法（十进制小数 → 二进制）

将十进制纯小数转换为二进制小数的方法称为乘2取整法：

0.625 × 2 = 1.25 → 整数部分 1（最高位）
0.25  × 2 = 0.50 → 整数部分 0
0.50  × 2 = 1.00 → 整数部分 1（最低位）

结果： $0.62 5_{10} = 0.10 1_{2}$

验证： $1 \times 2^{- 1} + 0 \times 2^{- 2} + 1 \times 2^{- 3} = 0.5 + 0 + 0.125 = 0.625$

0.1 × 2 = 0.2 → 0
0.2 × 2 = 0.4 → 0
0.4 × 2 = 0.8 → 0
0.8 × 2 = 1.6 → 1
0.6 × 2 = 1.2 → 1
0.2 × 2 = 0.4 → 0  ← 开始循环
...

结果： $0. 1_{10} = 0.0001100110011.. ._{2}$ （无限循环小数）

二进制小数 $\to$ 十进制

0. b_{1} b_{2} b_{3} ... b_{n} = i = 1 \sum n b_{i} \times 2^{- i}

例如： $0.10 1_{2} = 1 \times 2^{- 1} + 0 \times 2^{- 2} + 1 \times 2^{- 3} = 0.62 5_{10}$

这是一个非常重要的计算机科学知识点：

分母只含质因数2的十进制小数才能用有限位二进制小数精确表示
- $0. 5_{10} = 0. 1_{2}$ （分母为2）
- $0.2 5_{10} = 0.0 1_{2}$ （分母为4 = $2^{2}$ ）
- $0.7 5_{10} = 0.1 1_{2}$ （分母为4）
分母含其它质因数的十进制小数会变成二进制无限循环小数
- $0. 1_{10} = 1/10 = 1/ (2 \times 5)$ ，分母含质因数5，无法用有限二进制小数表示
- $0. 2_{10}$ 、 $0. 3_{10}$ 同理