2.10 函数

函数

函数的相关概念

函数（Function）是从定义域到值域的一种特殊二元关系：对每个输入有唯一输出。

• 定义域（Domain）：$f:A\to B$ 中 $A$ 称为定义域
• 值域（Range / Codomain）：$B$ 称为陪域，$f(A)=\{f(a)\mid a\in A\}$ 称为像集

函数的性质

单射（Injective / One-to-One）：若 $a_1\ne a_2$，则 $f(a_1)\ne f(a_2)$。不同输入对应不同输出。

单射 $\iff |f(A)|=|A|$：等价（对任意集合成立）。

满射（Surjective / Onto）：值域等于陪域，即 $f(A)=B$。

满射 $\iff |f(A)|=|B|$：仅当 $B$ 为有限集时等价；若 $B$ 无限，则不等价。

双射（Bijective）：同时满足单射和满射，是一一对应关系。

特殊函数

• 常函数（Constant Function）：对所有输入都输出同一个值
• 恒等函数（Identity Function）：$f(x)=x$，输出等于输入
• 特征函数（Characteristic Function）：表示元素是否属于某个集合

函数的复合与逆函数

函数复合（Composition）：$(f\circ g)(x)=f(g(x))$，先应用 $g$ 再应用 $f$。

逆函数（Inverse Function）：双射函数 $f:A\to B$ 存在逆函数 $f^{-1}:B\to A$，满足 $f^{-1}(f(a))=a$ 且 $f(f^{-1}(b))=b$。

链接到

• 上一个知识点：2.9 偏序关系
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