2.9 偏序关系

偏序关系

偏序关系的定义

偏序关系（Partial Order Relation）：满足自反性、反对称性和传递性的二元关系，通常记作 $\le$。

哈斯图

哈斯图（Hasse Diagram）：偏序关系的简化表示图。省略自环（自反性隐含），省略由传递性可推出的边，所有边的方向默认向上。

偏序集

偏序集（Poset）：集合 $A$ 与其上的偏序关系 $\le$ 构成的二元组 $(A,\le )$。

特殊元素

• 极大元（Maximal Element）：在偏序集中，没有比它更大的元素
• 极小元（Minimal Element）：在偏序集中，没有比它更小的元素
• 最大元（Greatest Element）：比所有元素都大的元素（唯一）
• 最小元（Least Element）：比所有元素都小的元素（唯一）

注意，$y$ 在 $A$ 中取，用来比较的 $x$ 在 $B$ 中取。

在有限偏序集中，唯一极小元就是最小元，极大元也同理。

上界与下界

• 上界（Upper Bound）：对于子集 $B\subseteq A$，若 $\forall x\in B$ 都有 $x\le y$，则 $y$ 是 $B$ 的上界
• 下界（Lower Bound）：对于子集 $B\subseteq A$，若 $\forall x\in B$ 都有 $y\le x$，则 $y$ 是 $B$ 的下界

上确界与下确界

• 上确界（Supremum）：上界中的最小元
• 下确界（Infimum）：下界中的最大元

全序集与良序集

• 全序集（Total Order / Linear Order）：偏序集中任意两个元素都可比
• 良序集（Well-Ordered Set）：全序集中每个非空子集都有最小元

链接到

• 上一个知识点：2.8 等价关系与划分
• 下一个知识点：2.10 函数