2.2 集合基本运算

集合基本运算

基本运算定义

集合的基本运算包括：

• 并运算（Union）：$A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}$
• 交运算（Intersection）：$A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}$
• 差运算（Difference）：$A-B=\{x\mid x\in A\wedge x\notin B\}$
• 补运算（Complement）：$\sim A=U-A$（相对于全集的差）
• 对称差（Symmetric Difference）：$A\oplus B=(A-B)\cup (B-A)$

此处注意，二类运算是从右向左进行。

运算律

集合运算满足以下基本运算律：

• 幂等律：$A\cup A=A$, $A\cap A=A$
• 交换律：$A\cup B=B\cup A$, $A\cap B=B\cap A$
• 结合律：$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$, $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
• 分配律：$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$, $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
• 吸收律：$A\cup (A\cap B)=A$, $A\cap (A\cup B)=A$
• 德摩根律：$\sim (A\cup B)=\sim A\cap \sim B$, $\sim (A\cap B)=\sim A\cup \sim B$

包含关系与运算

包含的两侧可以进行同时的并或交运算，只要新的参与运算的集合也满足同方向的包含关系。

对称差的性质

注意这里对称差的一个运算性质：两边有相同元素时，可以利用对称差的交换律和结合律，同时对相同元素做对称差，消去相同元素。即 $A=B\iff A+C=B+C$，这里用 $+$ 代表对称差。

链接到

• 上一个知识点：2.1 集合代数基本概念
• 下一个知识点：2.3 集合计数与基数
• 相关知识点：1.2 等值演算