2.3 集合计数与基数

集合计数与基数

包含排斥原理

包含排斥原理（Principle of Inclusion-Exclusion）用于计算多个集合并集的元素个数：

对于两个集合：$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

对于三个集合：$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$

有穷集合计数

对有穷集合进行计数时，包含排斥原理是重要的工具，可以推广到任意有限个集合的情形。

集合基数

基数（Cardinality）是集合大小的度量。有穷集合的基数即其元素个数。无穷集合的基数通过一一对应来比较。

• 可数集（Countable Set）：与自然数集 $\mathbb{N}$ 等势的集合，基数为 ${\aleph }_0$（阿列夫零）
• 不可数集（Uncountable Set）：基数大于 ${\aleph }_0$ 的集合，如实数集 $\mathbb{R}$

康托尔定理

康托尔定理（Cantor’s Theorem）：任何集合的幂集与原集合之间不存在一一对应，即 $|P(A)|>|A|$。这揭示了不存在最大基数的无穷集合。

链接到

• 上一个知识点：2.2 集合基本运算
• 下一个知识点：2.4 二元关系基本概念