信号运算
信号运算是指对信号的自变量（时间 ）进行数学变换，从而得到新的信号。核心要点：所有运算都是对自变量 的运算，而不是对信号值 内部的函数进行运算。
对于一个信号 ，其中 是已有的函数关系，这些变换是针对 的自变量 进行的，而不是针对 本身。
反褶（Reversal / Folding）
反褶运算将信号以纵轴（）为对称轴进行镜像翻转。
几何意义：
- 将信号波形沿纵轴翻转 180 度
- 相当于将磁带倒放的效果
性质：
- ，即两次反褶恢复原信号
- 偶函数 反褶后不变：
- 奇函数 反褶后变号：
时移（Time Shift）
- 当 时：波形向右平移 （右移，延迟）
- 当 时：波形向左平移 （左移，超前）
几何意义：
- 将整个波形沿时间轴平移，形状不变
- 反映信号在时间上的超前或延迟
性质：
- ，零时移不变
- 时移不改变信号的幅值和形状
- 时移运算与反褶、尺度变换的复合需要按顺序处理
尺度变换（Time Scaling）
其中 为非零实数。
- 当 时：波形在时间轴上压缩（信号变化加快）
- 当 时：波形在时间轴上扩展（信号变化减慢）
- 当 时：同时包含反褶和尺度变换
示例：
- ：将信号在时间轴上压缩为原来的一半，所有频率成分加倍
- ：将信号在时间轴上扩展为原来的两倍，所有频率成分减半
性质：
- 尺度变换会改变信号的频率成分：压缩 频谱展宽，扩展 频谱压缩
- 尺度变换不改变信号的幅值（仅改变时间轴比例）
复合变换
当信号同时经历反褶、时移和尺度变换时，一般形式为：
变换步骤如下：
- 先进行尺度变换和反褶：
- 再进行时移：
注意顺序： 时移的量是 ，而不是 。正确的变换顺序为：尺度变换（包括反褶）优先于时移。
常见变换示例
| 变换 | 结果 | 说明 |
|---|---|---|
| 右移 2 个单位 | 时间延迟 | |
| 压缩为原宽的 1/2 | 时间压缩 | |
| 关于纵轴翻转 | 反褶 | |
| 先压缩 3 倍，再右移 2/3 | 复合变换 | |
| 先反褶并压缩 2 倍，再右移 1/2 | 复合变换 |
运算对波形的影响总结
所有变换都是对自变量 的运算，因此遵循以下原则：
- 对于 ，变换只作用在 表达式中的 上
- 变换顺序不可随意调换：先尺度/反褶，后时移
- 平移量需根据尺度因子进行校正
信号幅值运算
除了对自变量的运算，还有对信号幅值的运算：
- 加/减：
- 乘：（如调制）
- 数乘：（幅度缩放）
- 微分：
- 积分：
