系统分类与LTI系统

系统（System）是将输入信号映射为输出信号的变换或运算。同一物理系统可建立不同的数学模型，而不同的物理系统可能具有完全相同的数学模型。系统分类从不同角度刻画系统特性。

系统分类概览

1. 连续时间系统与离散时间系统

特性	连续系统	离散系统
输入输出	连续时间信号 $f (t), y (t)$	离散时间序列 $f [n], y [n]$
数学模型	微分方程（Differential Equation）	差分方程（Difference Equation）
变换域	拉普拉斯变换、傅里叶变换	$z$ 变换、DTFT

2. 即时系统与动态系统

即时（无记忆）系统：输出仅与当前时刻的输入有关，与过去无关
- 示例： $y (t) = R \cdot f (t)$ （电阻电路）
动态（有记忆）系统：输出不仅与当前输入有关，还与过去输入有关
- 示例： $y (t) = \frac{1}{C} \int_{- \infty}^{t} f (τ) d τ$ （电容电路）

3. 集总参数系统与分布参数系统

集总参数系统：可用常微分方程描述（元件尺寸远小于信号波长）
分布参数系统：需要用偏微分方程描述（如传输线、波导）

4. 线性系统与非线性系统

线性系统同时满足齐次性（Homogeneity）和叠加性（Superposition）：

齐次性：若 $f (t) \to y (t)$ ，则 $A f (t) \to A y (t)$
叠加性：若 $f_{1} (t) \to y_{1} (t), f_{2} (t) \to y_{2} (t)$ ，则 $f_{1} (t) + f_{2} (t) \to y_{1} (t) + y_{2} (t)$

统一表达：若 $f_{1} (t) \to y_{1} (t), f_{2} (t) \to y_{2} (t)$ ，则 $a f_{1} (t) + b f_{2} (t) \to a y_{1} (t) + b y_{2} (t)$

不满足上述任一性质的系统为非线性系统。

5. 时变系统与时不变系统

时不变（Time-Invariant）系统：系统的特性不随时间变化

若 $f (t) \to y (t)$ ，则 $f (t - t_{0}) \to y (t - t_{0})$
即输入延迟多少时间，输出也相应延迟多少时间，响应的波形形状不变

时变（Time-Varying）系统：系统参数随时间变化

示例： $y (t) = cos (ω t) \cdot f (t)$ —— 乘法器输出依赖于时间函数 $cos (ω t)$

6. 因果系统与非因果系统

因果（Causal）系统：输出只依赖于当前和过去的输入，不依赖于未来的输入

$y (t_{0})$ 仅与 $t \leq t_{0}$ 时的 $f (t)$ 有关
是物理可实现系统的必要条件

非因果（Non-Causal）系统：输出依赖于未来的输入

物理不可实时实现，但可用于离线处理或理论分析

因果性判断： 系统的单位冲激响应 $h (t)$ 满足： $h (t) = 0, t < 0$

7. 稳定系统与非稳定系统

稳定系统：有界输入产生有界输出（BIBO，Bounded-Input Bounded-Output）

∣ f (t) ∣ \leq M_{f} < \infty \Rightarrow ∣ y (t) ∣ \leq M_{y} < \infty

BIBO稳定性的充要条件（对于LTI系统）：

\int_{- \infty}^{\infty} ∣ h (t) ∣ d t < \infty

即单位冲激响应绝对可积。

线性时不变（LTI）系统

线性时不变（Linear Time-Invariant, LTI）系统是同时满足线性和时不变性的系统，是整个信号与系统课程的核心研究对象。

线性（Linearity）

线性包含两个部分：

齐次性（Homogeneity / Scaling）

若 $f (t) \to y (t)$ ，则：

A \cdot f (t) \to A \cdot y (t)

即输入缩放 $A$ 倍，输出也缩放 $A$ 倍。

叠加性（Superposition / Additivity）

若 $f_{1} (t) \to y_{1} (t)$ ， $f_{2} (t) \to y_{2} (t)$ ，则：

f_{1} (t) + f_{2} (t) \to y_{1} (t) + y_{2} (t)

即输入的和对应输出的和。

线性判断标准：

系统 $y (t) = T {f (t)}$ 是线性的当且仅当：

T {a f_{1} (t) + b f_{2} (t)} = a T {f_{1} (t)} + b T {f_{2} (t)}

对任意 $a, b$ 和任意 $f_{1} (t), f_{2} (t)$ 成立。

时不变性（Time-Invariance）

若 $f (t) \to y (t)$ ，则对任意 $t_{0}$ ：

f (t - t_{0}) \to y (t - t_{0})

判断标准：

系统 $y (t) = T {f (t)}$ 是时不变的当且仅当：

T {f (t - t_{0})} = y (t - t_{0})

对任意 $t_{0}$ 和任意 $f (t)$ 成立。

LTI系统的微积分特性

若 LTI 系统的输入为 $f (t)$ ，输出为 $y (t)$ ，则：

微分特性：

\frac{d}{d t} f (t) \to \frac{d}{d t} y (t)

积分特性：

\int_{- \infty}^{t} f (τ) d τ \to \int_{- \infty}^{t} y (τ) d τ

即 LTI 系统对输入信号的微分（积分）等于输出信号的微分（积分）。这一性质由系统的线性时不变性直接导出，是 LTI 系统的重要特性。

LTI系统的因果性

LTI 系统是因果系统的充要条件是单位冲激响应 $h (t)$ 满足：

h (t) = 0, t < 0

LTI系统的重要性

叠加原理：LTI 系统对复杂输入的响应等于各简单分量响应之和
特征函数：复指数信号 $e^{s t}$ 是 LTI 系统的特征函数，系统输出为 $H (s) e^{s t}$
卷积描述：LTI 系统的输出可由输入与单位冲激响应的卷积得到： $y (t) = f (t) * h (t)$
微分方程描述：LTI 系统可由常系数线性微分方程描述
变换域分析：LTI 系统可在频域（傅里叶变换）、复频域（拉普拉斯变换）中进行分析

关于系统模型的要点

同一物理系统可得到不同的数学模型（取决于分析角度和近似程度）
不同物理系统可能有完全相同的数学模型（如机械系统与电路系统的微分方程形式相同）
系统分析的本质是建立输入-输出之间的数学关系

链接到

上一个知识点：1.6 系统分析方法
下一个知识点：无（本章最后一个知识点）
相关知识点：7.7 离散时间系统与差分方程、7.4 常用典型序列

📚 Study Notes

📂 笔记目录

1.7 系统分类与LTI系统