离散时间系统与差分方程

离散时间系统的基本概念

离散时间系统是将输入序列 $x [n]$ 映射为输出序列 $y [n]$ 的数学变换或物理系统：

y [n] = T {x [n]}

其中 $T {\cdot}$ 表示系统的变换算子。

系统的分类

线性系统

系统满足齐次性和叠加性：

齐次性（比例性）： $T {a x [n]} = a T {x [n]}$
叠加性（可加性）： $T {x_{1} [n] + x_{2} [n]} = T {x_{1} [n]} + T {x_{2} [n]}$

合并为线性条件：

T {a x_{1} [n] + b x_{2} [n]} = a T {x_{1} [n]} + b T {x_{2} [n]}

时不变系统

系统的特性不随时间推移而改变。若 $y [n] = T {x [n]}$ ，则：

T {x [n - n_{0}]} = y [n - n_{0}]

即输入延时 $n_{0}$ 个采样点，输出也相应地延时 $n_{0}$ 个采样点，响应形式不变。

因果系统

系统在某时刻 $n_{0}$ 的输出 $y [n_{0}]$ 只取决于 $n \leq n_{0}$ 时刻的输入，而与未来输入无关。对于 LTI 系统的单位样值响应，因果性等价于：

h [n] = 0, n < 0

稳定系统

有界输入产生有界输出（BIBO 稳定）。对于 LTI 系统，稳定性等价于：

n = - \infty \sum \infty ∣ h [n] ∣ < \infty

系统的数学模型：差分方程

离散时间 LTI 系统通常用常系数线性差分方程描述：

k = 0 \sum N a_{k} y [n - k] = k = 0 \sum M b_{k} x [n - k]

或展开写为：

a_{0} y [n] + a_{1} y [n - 1] + \dots + a_{N} y [n - N] = b_{0} x [n] + b_{1} x [n - 1] + \dots + b_{M} x [n - M]

$N$ ：系统阶数（差分方程的最高阶次）
$a_{k}, b_{k}$ ：常系数，由系统结构和元件参数决定
$y [n]$ ：系统响应（输出序列）
$x [n]$ ：系统激励（输入序列）

差分方程的递归性

差分方程可改写为递归形式：

y [n] = \frac{1}{a _{0}} [k = 0 \sum M b_{k} x [n - k] - k = 1 \sum N a_{k} y [n - k]]

这表明系统当前输出 $y [n]$ 取决于当前输入、过去输入以及过去输出。这种递归特性使得差分方程特别适合计算机迭代求解。

系统基本运算单元

离散时间系统由三种基本运算单元构成：

延迟器（单位延时）

输出等于输入延迟一个采样间隔：

y [n] = x [n - 1]

在框图中常用 $z^{- 1}$ 或 $D$ 表示延迟器。延迟器是离散系统中最关键的基本单元，它提供了系统的”记忆”能力。

加法器

将两个或多个信号相加：

y [n] = x_{1} [n] + x_{2} [n] + \dots + x_{k} [n]

乘法器（标量乘法器）

将信号乘以常数（增益）：

y [n] = a \cdot x [n]

系统框图

通过这三个基本单元的组合，可以画出任意差分方程对应的系统框图。框图有直接Ⅰ型、直接Ⅱ型（典范型）、级联型和并联型等结构形式。

微分方程与差分方程的对应关系

连续系统与离散系统之间存在对应关系，核心是微分到差分的映射。

对应关系表

连续时间	离散时间
微分方程	差分方程
微分 $\frac{d x ( t )}{d t}$	差分 $\nabla x [n] = x [n] - x [n - 1]$
积分 $\int x (t) d t$	累加 $\sum_{k = - \infty}^{n} x [k]$
冲激响应 $h (t)$	单位样值响应 $h [n]$
卷积积分	卷积和
特征值 $s$	特征值 $z$
拉普拉斯变换	$Z$ 变换

通过采样关系建立对应

若连续信号 $x (t)$ 以采样周期 $T_{s}$ 采样得到 $x [n] = x (n T_{s})$ ，则一阶导数近似为：

\frac{d x ( t )}{d t} \approx \frac{x [ n ] - x [ n - 1 ]}{T _{s}}

代入连续微分方程即可得到近似的离散差分方程。这种对应关系是数字仿真和数字滤波器设计的基础。

📚 Study Notes

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7.7 离散时间系统与差分方程