2.8 零输入零状态响应

零输入零状态响应

基本概念

对于线性时不变（LTI）系统，完全响应可以分解为零输入响应和零状态响应之和：

$y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)$

零输入响应

零输入响应（Zero-Input Response）是指系统在外加激励为零（$x(t)=0$）时，仅由系统内部的初始储能（初始条件）引起的响应。

• 满足齐次微分方程：$a_n{y}^{(n)}(t)+a_{n-1}{y}^{(n-1)}(t)+\cdots +a_{0}y(t)=0$
• 初始条件非零：由 $t=0^{-}$ 时刻的储能决定
• 形式为齐次解形式，系数由初始条件确定
• 物理意义：系统在没有外来激励时，释放其初始储能的过程
• 零输入响应随时间的推移而衰减（对于稳定系统），最终趋于零

零状态响应

零状态响应（Zero-State Response）是指系统初始储能为零（初始条件全部为零）时，仅由外加激励 $x(t)$ 引起的响应。

• 满足非齐次微分方程：$a_n{y}^{(n)}(t)+\cdots +a_{0}y(t)=b_m{x}^{(m)}(t)+\cdots +b_{0}x(t)$
• 初始条件：$y^{(k)}(0^{-})=0$，但 $0^{+}$ 时刻的值可能因激励中的冲激而发生跳变
• 形式为齐次解 + 特解，其中齐次解系数由零初始条件确定
• 物理意义：系统在零初始储能下对外部激励的响应
• 零状态响应包含特解部分，稳态时趋向于强迫响应

全响应的分解方式

按成因分解（零输入 + 零状态）

$y(t)=\underset{\text{零输入响应}}{\underbrace{y_{zi}(t)}}+\underset{\text{零状态响应}}{\underbrace{y_{zs}(t)}}$

这种分解突出了响应的物理成因：零输入响应由系统内部储能产生，零状态响应由外部激励产生。

由于系统是线性的，两者满足叠加原理： $\text{全响应}=\text{零输入响应}+\text{零状态响应}$

按形式分解（自由响应 + 强迫响应）

$y(t)=\underset{\text{自由响应}}{\underbrace{y_h(t)}}+\underset{\text{强迫响应}}{\underbrace{y_p(t)}}$

• 自由响应（自然响应）：齐次解部分，函数形式仅由系统本身决定（特征根），系数受激励影响
• 强迫响应：特解部分，函数形式由外加激励决定

按稳定特性分解（瞬态响应 + 稳态响应）

$y(t)=\underset{\text{瞬态响应}}{\underbrace{y_t(t)}}+\underset{\text{稳态响应}}{\underbrace{y_s(t)}}$

• 瞬态响应：随时间增长趋于零的部分（对应于特征根实部为负的分量）
• 稳态响应：随时间增长仍保持存在的部分（包括常数、等幅振荡等）

对于稳定系统，当 $t\to \infty$ 时，瞬态响应消失，仅剩稳态响应。

三种分解的关系

分解方式	依据	分量1	分量2
成因分解	系统线性性质	零输入响应	零状态响应
形式分解	解的函数形式	自由响应（齐次解）	强迫响应（特解）
稳定特性	时域行为	瞬态响应	稳态响应

注意：零输入响应和零状态响应中都可能包含自由响应（齐次解）分量和瞬态分量。

求解零输入响应的步骤

1. 令激励 $x(t)=0$，得到齐次微分方程
2. 写出特征方程，求特征根
3. 写出齐次解形式（含待定系数）
4. 利用换路定理确定 $0^{-}$ 初始条件（即零输入初始条件）
5. 求解待定系数，得到零输入响应

求解零状态响应的步骤

1. 令初始条件为零（$y^{(k)}(0^{-})=0$）
2. 若激励含冲激，使用冲激函数匹配法确定 $0^{+}$ 初始条件
3. 写出非齐次微分方程的全解形式（齐次解 + 特解）
4. 代入 $0^{+}$ 初始条件，确定齐次解系数
5. 得到零状态响应

叠加性

由于系统是线性的，全响应可分解为： $\text{全响应}=\text{零输入响应}+\text{零状态响应}$

这体现了线性系统的重要特性：输入与初始状态的作用是独立的，可以分开计算再叠加。

链接到

• 上一个知识点：2.7 跳变求法与换路定理
• 下一个知识点：无（本章最后一个知识点）
• 相关知识点：7.8 零输入零状态响应离散、4.6 用拉普拉斯变换分析电路