4.6 用拉普拉斯变换分析电路

用拉普拉斯变换分析电路

利用拉普拉斯变换可以将时域微分方程转化为 $s$ 域的代数方程，从而大大简化电路分析过程。同时，初始条件会自动包含在变换结果中，无需单独处理。

用拉普拉斯变换解微分方程

基本思路

对于描述 LTI 系统的 $n$ 阶微分方程：

$$a_n\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=b_m\frac{d^{m}x(t)}{d{t}^m}+\cdots +b_{0}x(t)$$

两边取单边拉普拉斯变换，利用时域微分性质：

$$a_n\left[s^{n}Y(s)-s^{n-1}y(0^{-})-\cdots -y^{(n-1)}(0^{-})\right]+\cdots +a_{0}Y(s)=b_m\left[s^{m}X(s)-\cdots \right]+\cdots +b_{0}X(s)$$

整理后解出 $Y(s)$，再进行拉普拉斯逆变换即可得到 $y(t)$。

完全响应分解

通过拉普拉斯变换求解，可以自然地得到系统的全响应分解：

$$Y(s)=Y_{zs}(s)+Y_{zi}(s)$$

• 零输入响应（Zero-Input Response）：仅由初始条件决定，与激励无关
• 零状态响应（Zero-State Response）：仅由激励决定，初始条件为零

求解步骤

1. 对微分方程两边取单边拉普拉斯变换（注意初始条件的代入）
2. 整理方程，解出 $Y(s)$
3. 将 $Y(s)$ 分解为部分分式
4. 查拉普拉斯变换表，进行逆变换得到 $y(t)$

示例：RC 电路

对于 RC 电路 $RC\frac{d{v}_c(t)}{dt}+v_c(t)=v_s(t)$，初始电压 $v_c(0^{-})=V_0$：

取拉普拉斯变换：

$$RC\left[s{V}_c(s)-v_c(0^{-})\right]+V_c(s)=V_s(s)$$ $$(RCs+1)V_c(s)=V_s(s)+RC\cdot V_0$$ $$V_c(s)=\frac{V_s(s)}{RCs+1}+\frac{RC\cdot V_0}{RCs+1}$$

第一项为零状态响应，第二项为零输入响应。

电路的 $s$ 域模型

将电路中的每个元件用其 $s$ 域模型表示，可以直接在 $s$ 域中运用基尔霍夫定律和欧姆定律进行分析。

电阻元件

时域：$v(t)=Ri(t)$

$s$ 域：$V(s)=RI(s)$

电阻的 $s$ 域模型仍然是一个阻值为 $R$ 的电阻，与频率无关。

电感元件

时域：$v(t)=L\frac{di(t)}{dt}$

$s$ 域：$V(s)=sLI(s)-Li(0^{-})$

电感在 $s$ 域中表现为：

• 阻抗 $sL$（与频率成正比，对高频呈现高阻抗）
• 串联电压源 $-Li(0^{-})$（反映初始电流的影响）

等效电路：电感 $s$ 域模型包含一个阻抗 $sL$ 与一个电压源 $-Li(0^{-})$ 串联。

也可化为等效电流源形式：

$$I(s)=\frac{V(s)}{sL}+\frac{i(0^{-})}{s}$$

电容元件

时域：$i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}$

$s$ 域：$I(s)=sCV(s)-Cv(0^{-})$

或整理为：

$$V(s)=\frac{1}{sC}I(s)+\frac{v(0^{-})}{s}$$

电容在 $s$ 域中表现为：

• 阻抗 $\frac{1}{sC}$（与频率成反比，对低频呈现高阻抗）
• 串联电压源 $\frac{v(0^{-})}{s}$（反映初始电压的影响）

等效电路：电容 $s$ 域模型包含一个阻抗 $\frac{1}{sC}$ 与一个电压源 $\frac{v(0^{-})}{s}$ 串联。

独立电源

• 电压源 $v_s(t)$：$s$ 域中为 $V_s(s)$
• 电流源 $i_s(t)$：$s$ 域中为 $I_s(s)$

电路元件 $s$ 域模型总结

元件	时域关系	$s$ 域阻抗	初始条件处理
电阻 $R$	$v=Ri$	$R$	无
电感 $L$	$v=L\frac{di}{dt}$	$sL$	串联电压源 $-Li(0^{-})$
电容 $C$	$i=C\frac{dv}{dt}$	$\frac{1}{sC}$	串联电压源 $\frac{v(0^{-})}{s}$

$s$ 域分析步骤

1. 建立 $s$ 域电路模型：将时域电路中的每个元件替换为对应的 $s$ 域模型
2. 标注 $s$ 域变量：对各支路电压、电流标注 $s$ 域符号
3. 列写 $s$ 域方程：运用基尔霍夫定律（KCL、KVL）和欧姆定律，列写代数方程
4. 求解 $s$ 域变量：解出所需电压或电流的 $s$ 域表达式 $V(s)$ 或 $I(s)$
5. 拉普拉斯逆变换：对 $s$ 域解进行逆变换，得到时域响应

$s$ 域分析的优势

1. 代数化：将微分方程转化为代数方程，简化计算过程
2. 自动包含初始条件：无需单独确定积分常数
3. 统一处理：零输入响应和零状态响应同时求得
4. 系统函数概念：引入 $H(s)=Y_{zs}(s)/X(s)$，便于系统特性分析
5. 频域信息：$s$ 域解中蕴含着频率响应信息

典型电路分析示例：RLC 串联电路

对于 RLC 串联电路，输入电压 $v_s(t)$，输出电压为电容电压 $v_c(t)$：

时域微分方程：

$$LC\frac{d^2{v}_c(t)}{d{t}^2}+RC\frac{d{v}_c(t)}{dt}+v_c(t)=v_s(t)$$

取拉普拉斯变换（设初始条件 $v_c(0^{-})=V_0$, $i_L(0^{-})=I_0$）：

$$LC\left[s^2{V}_c(s)-s{V}_0-I_0/C\right]+RC\left[s{V}_c(s)-V_0\right]+V_c(s)=V_s(s)$$

解得：

$$V_c(s)=\frac{V_s(s)}{LC{s}^2+RCs+1}+\frac{(LCs+RC)V_0+L{I}_0}{LC{s}^2+RCs+1}$$

其中第一项为零状态响应，第二项为零输入响应。分母 $LC{s}^2+RCs+1$ 即为该电路的特征多项式。

链接到

• 上一个知识点：4.5 常用拉普拉斯变换对
• 下一个知识点：4.7 系统函数H(s)
• 相关知识点：7.8 零输入零状态响应离散、6.6 z变换解差分方程