2.5 线性系统时域模拟

线性系统时域模拟

基本运算单元

连续时间 LTI 系统的时域模拟由三种基本运算单元组成，通过它们的组合可以实现任意高阶微分方程所描述的系统。

加法器

加法器完成两个或多个信号的代数相加运算：

$y(t)=x_1(t)+x_2(t)+\cdots +x_n(t)$

符号表示为一个圆形或矩形，内部标以”+“号，多个输入箭头指向该符号，输出为各输入信号之和。

输入信号可以带有正负号，实现加法或减法运算： $y(t)=x_1(t)-x_2(t)+x_3(t)$

标量乘法器

标量乘法器（又称数乘器）将输入信号乘以一个常数：

$y(t)=a\cdot x(t)$

符号表示为一个矩形或三角形，内部标有常数 $a$，或用一个箭头旁标注常数表示。

• 当 $a>1$ 时，实现放大
• 当 $0<a<1$ 时，实现衰减
• 当 $a<0$ 时，实现反相（极性反转）

积分器

积分器是连续时间系统模拟中最核心的单元，它对输入信号进行积分运算：

$y(t)={\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )d\tau$

或表示为有初始条件的积分： $y(t)=y(t_0)+{\int }_{t_0}^{t}x(\tau )d\tau$

符号表示为一个矩形，内部标以积分符号 $\int$。积分器是连续时间系统的基本记忆单元（对应于微分器的逆运算，但微分器在实际中较少使用，因为对噪声敏感）。

在系统框图中，积分器的初始输出值代表系统的初始条件（即 $0^{-}$ 时刻的状态）。

系统框图

系统框图是用基本运算单元图形化地表示微分方程，直观展示了系统的结构和信号流向。

由微分方程绘制框图

对于 $n$ 阶微分方程： $y^{(n)}(t)+a_{n-1}{y}^{(n-1)}(t)+\cdots +a_1{y}^{\prime }(t)+a_{0}y(t)=b_m{x}^{(m)}(t)+\cdots +b_{0}x(t)$

标准的绘制步骤（直接I型）：

1. 引入辅助变量：将最高阶导数项 $y^{(n)}(t)$ 表示为输入信号组合减去低阶项
2. 串联积分器：用 $n$ 个积分器从 $y^{(n)}(t)$ 逐次积分得到 $y^{(n-1)}(t),\dots ,y^{\prime }(t),y(t)$
3. 反馈连接：将各阶导数乘以对应系数 $a_{n-1},\dots ,a_0$，反馈到输入端
4. 前馈连接：将激励 $x(t)$ 的各阶导数乘以对应系数 $b_m,\dots ,b_0$，前馈到输出端

直接II型（典范型）

通过交换积分器和反馈/前馈路径的顺序，可以减少积分器的使用数量，只需 $n$ 个积分器（若 $n\ge m$），这种结构称为直接II型或典范型实现。

框图与微分方程的对应

• 每个积分器对应一个状态变量（一阶微分关系）
• 加法器实现方程中的加法运算
• 乘法器实现各阶导数和激励的系数缩放
• 框图中的反馈环路体现了微分方程中输出对自身导数的依赖关系

并联、级联与反馈结构

除了直接型结构外，系统还可以用以下方式实现：

• 级联（串联）：将高阶系统分解为多个一阶或二阶子系统的串联
• 并联：将高阶系统分解为多个一阶或二阶子系统的并联
• 反馈：使用反馈环路构成闭环系统

不同的结构对应不同的系统分解方式，但输入输出关系相同。

模拟的意义

时域模拟将抽象的微分方程转化为具体的结构框图，具有以下意义：

1. 直观理解：直观显示信号的流动和处理过程
2. 物理实现：可作为电路实现的基础
3. 状态变量：积分器的输出对应于系统的状态变量，为状态空间分析奠定基础
4. 数值计算：框图结构可直接映射为计算机仿真算法（如 Simulink）

链接到

• 上一个知识点：2.4 卷积求全响应
• 下一个知识点：2.6 经典微分方程求解
• 相关知识点：7.7 离散时间系统与差分方程