频谱与带宽

频谱是信号在频率域内的表示，描述了信号中各频率分量的幅度和相位随频率分布的情况。带宽则反映了信号占据的有效频率范围。

幅度谱与相位谱

对于指数形式的傅里叶级数 $f (t) = Σ F_{n} e^{jnω t}$ ，复系数 F_n包含幅度和相位信息：

$∣ F_{n} ∣ = \frac{1}{2} a_{n}^{2} + b_{n}^{2} = \frac{A _{n}}{2}$

$φ_{n} = ∠ F_{n} = - arctan (\frac{b _{n}}{a _{n}})$

幅度谱（Amplitude Spectrum）： 以频率为横轴， $∣ F_{n} ∣$ 为纵轴绘制的离散图谱，反映各频率分量的幅度大小。

**相位谱（Phase Spectrum）：**以频率为横轴， $φ_{n}$ 为纵轴绘制的离散图谱，反映各频率分量的相位偏移。

由于周期信号的频率分量只出现在基频 $ω$ 的整数倍处，因此频谱是离散的——只在 $nω$ 处有值。

指数形式给出的频谱称为双边谱（n从 $- \infty$ 到 $\infty$ ），其幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数。三角形式给出的频谱称为单边谱（n从 0到 $\infty$ ）。双边谱的每个正频率分量幅度为对应单边谱的一半（直流除外）。

周期信号的频谱具有三个基本特性：

**1.离散性：**频谱由一系列离散的谱线组成，每条谱线对应一个谐波分量，谱线出现在基频 $ω$ 的整数倍处。这种离散频谱也被称为线状谱。

**2.谐波性：**各谱线的频率都是基频 $ω$ 的整数倍，即谱线等间距分布，间距为 $ω$ 。这意味着所有谐波分量的频率都是基频的整数倍。

3. 收敛性： 随着谐波次数 n 增大， $∣ F_{n} ∣$ 总体上呈衰减趋势（对绝大多数信号而言），即高次谐波的幅度趋近于零。收敛速度与信号波形的光滑程度有关——波形越光滑，收敛越快；波形中跳变点越多，收敛越慢。

收敛性保证了傅里叶级数可以用有限项逼近原信号，高次谐波对信号能量的贡献可忽略不计，因此实际应用中可以只考虑有限带宽内的频率分量。

有效带宽（Effective Bandwidth）是指信号能量或幅度集中分布的主要频率范围。通常将从零频率开始到第一个频谱零点（或幅度下降到峰值的一定比例）之间的频率范围定义为信号的有效带宽。

对于周期矩形脉冲信号（脉冲宽度为 $τ$ ，周期为 T），其频谱包络为抽样函数 $S a (ω τ /2)$ ，第一个零点出现在：

$ω = \frac{2 π}{τ} 或 f = \frac{1}{τ}$

因此有效带宽为：

$B_{ω} = \frac{2 π}{τ} 或 B_{f} = \frac{1}{τ}$

脉冲宽度 $τ$ 与有效带宽 B成反比关系： $τ \times B = 1$ 。脉冲越窄（ $τ$ 越小），信号的带宽越宽，这意味着要传输窄脉冲信号需要更大的信道带宽；反之，脉冲越宽，带宽越窄。这一关系在通信系统和信号处理中具有重要的意义——时域与频域的压缩和展宽是互逆的。

除了第一个零点定义外，工程中常用以下带宽定义： -**3dB带宽： **幅度下降到最大值的 1/ $2$ （约 0.707，对应功率下降一半）时的频率范围

当从周期信号过渡到非周期信号时（ $T \to \infty$ ），离散谱线逐渐密集并最终变为连续频谱。此时使用频谱密度函数 $F (ω)$ 来描述信号在各频率处的分布密度。频谱密度是单位频带内的频谱值，量纲为幅度/频率。