3.10 能量谱与功率谱

能量谱与功率谱

信号可以根据能量和功率的分类划分为能量信号和功率信号。谱密度概念描述了信号能量或功率在频域中的分布情况。

能量信号与功率信号

能量信号： 信号的总能量有限且平均功率为零的信号。满足：

$E={\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt<\infty$

能量信号通常是持续时间有限的信号（如矩形脉冲、单次指数衰减信号），在时域中迅速衰减到零。

功率信号： 信号的平均功率有限且总能量无限大的信号。满足：

$P={\lim }_{T\to \infty }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}|f(t){|}^{2}dt<\infty$

功率信号通常是持续时间无限的周期信号或随机信号（如正弦波、周期脉冲序列）。

分类判断

• 时限信号（有限时间范围内非零，之外为零）一定是能量信号
• 周期信号一定是功率信号
• 非周期信号中，时域衰减足够快的为能量信号，衰减慢或不衰减的为功率信号

帕塞瓦尔定理（能量信号）

对于能量信号 f(t) 及其傅里叶变换$F(\omega )$，帕塞瓦尔定理（Parseval’s Theorem）建立了时域能量与频域能量的等价关系：

${\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }|F(\omega ){|}^{2}d\omega$

该定理的物理意义：信号在时域中的总能量等于信号在频域中各频率分量能量之和（或积分）。傅里叶变换是能量守恒的变换，既不会创造能量也不会消灭能量。

推导要点

利用傅里叶变换的定义和逆变换公式，结合内积的频域表示即可推导：

${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)g^{\ast }(t)dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )G^{\ast }(\omega )d\omega$

当 g(t) = f(t) 时即得到帕塞瓦尔定理。

能量谱密度

定义能量谱密度（Energy Spectral Density, ESD）为：

$\mathcal{E}(\omega )=|F(\omega ){|}^2$

**含义：$\ast \ast |F(\omega ){|}^2$表示信号在频率$\omega$处的单位频带内的能量分布密度。对整个频域积分（乘以$1/(2\pi )$）得到信号的总能量。

能量谱密度的性质

• 是$\omega$的非负实偶函数（对实信号而言）
• 不包含相位信息——不同相位信号的功率谱可以相同
• 反映了信号能量在频率上的分布

功率谱（功率谱密度）

对于功率信号（尤其是周期信号），使用功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）描述功率的频域分布。

周期信号的功率： 对于周期为 T 的信号 f(t)，其平均功率可表示为傅里叶级数系数的平方和：

$P=\frac{1}{T}{\int }_0^T|f(t){|}^{2}dt={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }|F_n{|}^2$

这就是帕塞瓦尔定理在周期信号中的形式——周期信号的功率等于各谐波分量功率之和。

周期信号的功率谱： 对周期信号，功率谱是离散的，在$n{\omega }_0$处具有值$|F_n{|}^2$，表示该频率分量的功率。

自相关函数与谱密度的关系

根据维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin Theorem）：

• 能量信号的自相关函数$R(\tau )=\int f(t)f(t+\tau )dt$的傅里叶变换为能量谱密度$|F(\omega ){|}^2$
• 功率信号的（时间平均）自相关函数的傅里叶变换为功率谱密度

这为通过相关函数计算谱密度提供了理论依据，在随机信号分析中尤为重要。

工程意义

1. 匹配滤波器： 在通信系统中，匹配滤波器使输出信噪比最大化，其频率响应与输入信号的能量谱密度有关。
2. 信号检测： 能量谱密度可用于检测特定频谱特征的信号是否存在。
3. 系统辨识： 通过分析输入输出信号的功率谱关系，可以辨识系统的频率响应。
4. 噪声分析： 噪声通常用功率谱密度描述（如白噪声的 PSD 为常数），这对通信系统的性能分析至关重要。

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