傅里叶变换定义

傅里叶变换（Fourier Transform）是信号与系统分析中的核心工具，它将时域信号分解为不同频率的正弦分量，揭示了信号的频率特性。傅里叶变换是傅里叶级数在非周期信号上的推广。

从傅里叶级数到傅里叶变换

周期信号可以用傅里叶级数分解为一系列离散频率的复指数信号之和。对于非周期信号，可以将其视为周期 $T \to \infty$ 的周期信号，此时离散的频谱变为连续的频谱，傅里叶级数过渡为傅里叶变换。

对于连续时间信号 $f (t)$ ，其傅里叶变换（也称为频谱密度函数）定义为：

F (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- jω t} d t

其中 $ω = 2 π f$ 为角频率， $F (ω)$ 一般为复函数，可写为：

F(\omega) = |F(\omega)| e^{j\varphi(\omega)}

由频谱 $F (ω)$ 恢复时域信号 $f (t)$ 的过程称为傅里叶逆变换：

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (ω) e^{jω t} d ω

傅里叶逆变换的物理意义是：将信号 $f (t)$ 表示为无穷多个频率为 $ω$ 、幅度为 $\frac{F ( ω )}{2 π} d ω$ 的复指数信号 $e^{jω t}$ 的叠加。

傅里叶变换存在的充分条件（狄利克雷条件）为：

\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| dt < \infty

许多不满足绝对可积条件的信号（如周期信号、阶跃信号等），其傅里叶变换可通过引入冲激函数以广义傅里叶变换的形式存在。

周期信号的傅里叶级数系数 $F_{n}$ 与其傅里叶变换 $F (ω)$ 的关系为：

F (ω) = 2 π n = - \infty \sum \infty F_{n} δ (ω - n ω_{0})

即周期信号的傅里叶变换是位于各次谐波频率处的冲激函数序列，其强度为 $2 π$ 乘以傅里叶级数系数。这一关系将周期信号和非周期信号的频域分析统一起来。