傅里叶级数

傅里叶级数（Fourier Series, FS）是将任意周期信号分解为一系列正弦/余弦分量（或复指数分量）之和的数学工具。核心思想是：任何满足狄利克雷条件的周期函数都可以表示为不同频率的正弦波的线性组合。

三角形式的傅里叶级数

对于一个周期为 T的周期信号 $f (t)$ ，其基频为 $ω = 2 π / T$ ，三角形式的傅里叶级数展开为：

$f (t) = \frac{a _{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} cos (nω t) + b_{n} sin (nω t)]$

其中各系数的计算公式如下：

直流分量：

$a_{0} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f (t) d t$

余弦分量幅度：

$a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f (t) cos (nω t) d t, n = 1, 2, 3, \dots$

正弦分量幅度：

$b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f (t) sin (nω t) d t, n = 1, 2, 3, \dots$

三角形式直观地展示了信号中直流分量（ $a_{0} /2$ ）、基波分量（ $n = 1$ ）和各次谐波分量（ $n \geq 2$ ）的构成。a_n和 b_n分别反映了信号中余弦波和正弦波的成分大小。

余弦形式的傅里叶级数

三角形式也可以合并为余弦形式：

$f (t) = \frac{A _{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} A_{n} cos (nω t + φ_{n})$

其中：

$A_{n} = a_{n}^{2} + b_{n}^{2}, φ_{n} = - arctan (\frac{b _{n}}{a _{n}})$

这种形式将同频的正弦和余弦项合并为一个具有幅度 A_n和初相位 $φ_{n}$ 的余弦波，便于直接观察各频率分量的幅度与相位。

指数形式的傅里叶级数

利用欧拉公式 $e^{j θ} = cos θ + j s in θ$ ，可以将三角形式转换为更为简洁的指数形式：

$f (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} F_{n} e^{jnω t}$

其中复系数 $F_{n}$ 的计算公式为：

$F_{n} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) e^{- jnω t} d t$

$F_{n}$ 是一个复数，包含了第 n 次谐波的幅度和相位信息。n 取全体整数，负频率的出现是数学表示的需要，物理上并不存在负频率——负频率分量与正频率分量共轭对称，共同构成实信号。

指数形式的物理含义

指数形式表明，周期信号可以分解为一系列频率为 $nω$ 的复指数信号 $e^{jnω t}$ 的加权和。每个复指数分量对应于一个旋转向量，其权重为 $F_{n}$ 。正 n对应逆时针旋转，负 n对应顺时针旋转，正负分量合成为实信号。

三角形式到指数形式的转换

三角形式和指数形式通过欧拉公式相互关联，二者之间的转换关系为：

$F_{n} = \frac{1}{2} (a_{n} - j b_{n}), n > 0$

$F_{- n} = \frac{1}{2} (a_{n} + j b_{n}), n > 0$

$F_{0} = \frac{a _{0}}{2}$

反之，从指数形式到三角形式：

$a_{n} = F_{n} + F_{- n} = 2 Re [F_{n}]$

$b_{n} = j (F_{n} - F_{- n}) = - 2 Im [F_{n}]$

这些关系表明，三角形式的 n 次余弦和正弦分量对应指数形式中 $\pm n$ 的一对共轭分量，它们的幅度之和等于三角形式中对应分量的幅度。