3.2 典型周期信号的傅里叶级数

典型周期信号的傅里叶级数

掌握几种典型周期信号的傅里叶级数展开形式，有助于从直观上理解信号频谱的结构特征，并能够为分析更复杂的信号提供基础。

周期矩形脉冲信号

周期矩形脉冲是信号处理中最基础的周期信号之一。设脉冲宽度为$\tau$，脉冲幅度为$/E$，周期为 T，基频 $\omega =2\pi /T$。

傅里叶级数

$F_n=\frac{E\tau }{T}\cdot \mathrm{Sa}\left(\frac{n\omega \tau }{2}\right)=\frac{E\tau }{T}\cdot \frac{\sin (n\omega \tau /2)}{n\omega \tau /2}$

其中$/Sa(x)=/sin(x)/x$为抽样函数。

三角形式：

$f(t)=\frac{E\tau }{T}+\frac{2E\tau }{T}{\sum }_{n=1}^{\infty }\mathrm{Sa}\left(\frac{n\omega \tau }{2}\right)\cos (n\omega t)$

频谱特征

-频谱包络为抽样函数 $Sa(\omega \tau /2)$，呈”主瓣+旁瓣”结构 -第一个零点出现在 $\omega =2\pi /\tau$（即 $n\omega \tau /2=\pi$时） -相邻零点间距为 $2\pi /\tau$

• 主瓣集中了信号的大部分能量
• 直流分量$=/E\tau /T$（即脉冲面积除以周期）

有效带宽

有效带宽 $B_{\omega }=2\pi /\tau$（第一个零点以内），或 $B_f=1/\tau$。带宽与脉宽成反比。

占空比对频谱的影响

占空比$\tau /T$越小（脉冲越窄），频谱越密集（T 固定时零点间隔由$\tau$决定），但谱线间距由 T 决定。占空比越小，主瓣内包含的谱线数越多。

周期锯齿脉冲信号

周期锯齿信号在示波器扫描电路、某些调制波形中常见。

傅里叶级数展开：

$f(t)=\frac{2E}{\pi }{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin (n\omega t)$

其中$/E$为锯齿波的幅度。

频谱特征：

• 不含直流分量（$a_0=0$）
• 只有正弦项（奇函数对称）
• 幅度谱按 1/n 衰减，收敛速度较慢（与矩形脉冲的$1/n^2$衰减相比）
• 谐波丰富，高次谐波不可轻易忽略

周期三角脉冲信号

周期三角波比锯齿波更平滑，因此高频分量衰减更快。

设三角波的幅度为$/E$，周期为 T。

$f(t)=\frac{E}{2}+\frac{4E}{{\pi }^2}{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}{\sin }^2\left(\frac{n\pi }{2}\right)\cos (n\omega t)$

或等价写为（仅奇次谐波存在）：

$f(t)=\frac{E}{2}+\frac{8E}{{\pi }^2}{\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{\cos \left((2k+1)\omega t\right)}{(2k+1{)}^2}$

频谱特征：

• 含有直流分量$/E/2$
• 只有余弦项（偶函数对称）
• 幅度谱按$1/n^2$衰减，收敛速度快
• 因为波形没有跳变点（仅有棱角），高频分量衰减迅速

周期半波余弦信号

周期半波余弦信号是余弦波在正半周期取余弦值、负半周期为零的波形。

$f(t)=\frac{E}{\pi }+\frac{E}{2}\cos (\omega t)+\frac{2E}{\pi }{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{4n^2-1}\cos (2n\omega t)$

其中$n=1,2,3,...$，$/E$为余弦波幅度。

频谱特征：

• 含有直流分量
• 含有基波和偶次谐波
• 频谱按$1/(4n^2-1)$衰减，收敛速度较快
• 没有奇次谐波（除基波外）

周期全波余弦信号

周期全波余弦是对余弦波进行全波整流后的波形，即取绝对值。

$f(t)=\frac{2E}{\pi }+\frac{4E}{\pi }{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{4n^2-1}\cos (2n\omega t)$

频谱特征： -含有直流分量 $2E/\pi$

• 只含偶次谐波（$n=2,4,6,...$），不含奇次谐波
• 频谱按$1/(4n^2-1)$衰减
• 全波整流使信号周期变为整流前的一半，基频加倍
• 偶谐函数的典型实例

几种信号的收敛速度对比

信号类型	谐波衰减速度	波形光滑度
矩形脉冲	$\sim 1/n$	有跳变点
锯齿波	$\sim 1/n$	有跳变点
三角波	$\sim 1/n^2$	连续但导数有跳变
半波/全波余弦	$\sim 1/n^2$	连续但导数有跳变

一般来说，波形越平滑（可导阶数越多），其傅里叶系数的收敛速度越快，需要的有效带宽越窄。

链接到

• 上一个知识点：3.1 傅里叶级数
• 下一个知识点：3.3 波形对称性与傅里叶系数