3.7 傅里叶变换的性质

傅里叶变换的性质

傅里叶变换具有一系列重要的性质，利用这些性质可以高效地推导复杂信号的频谱，而无需反复使用定义式积分。这些性质揭示了时域和频域之间的对偶关系。

线性性质

若 $f_1(t)\leftrightarrow F_1(\omega )$，$f_2(t)\leftrightarrow F_2(\omega )$，则对于任意常数 a、b：

$a{f}_1(t)+b{f}_2(t)⟷a{F}_1(\omega )+b{F}_2(\omega )$

线性性质是傅里叶变换作为线性算子的本质体现，允许我们将复杂信号分解为基本信号之和，分别变换后再叠加。

对称性（对偶性质）

若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega )$，则：

$F(t)⟷2\pi f(-\omega )$

如果 $f(t)$是偶函数，则 $F(t)\leftrightarrow 2\pi f(\omega )$。

意义： 傅里叶变换的对偶性表明，时域和频域的角色是可以互换的。如果一个信号的时域波形与另一个信号的频谱形状相同，那么这两个信号的傅里叶变换形式上也具有对应关系。

**应用示例：**已知 $\delta (t)\leftrightarrow 1$，由对称性得 $1\leftrightarrow 2\pi \delta (\omega )$。已知矩形脉冲 $\leftrightarrow Sa$函数，则 Sa脉冲 $\leftrightarrow$矩形频谱。

奇偶虚实性

对于实信号 $f(t)$，其傅里叶变换 $F(\omega )$具有以下对称特性：

$-F(\omega )$的实部 $R(\omega )$是偶函数：$R(\omega )=R(-\omega )$ $-F(\omega )$的虚部 $X(\omega )$是奇函数：$X(\omega )=-X(-\omega )$ -幅度谱 $|F(\omega )|$是偶函数：$|F(\omega )|=|F(-\omega )|$ -相位谱 $\phi (\omega )$是奇函数：$\phi (\omega )=-\phi (-\omega )$

特殊情况： -若 $f(t)$为实偶函数，则 $F(\omega )$为实偶函数（虚部为零） -若 $f(t)$为实奇函数，则 $F(\omega )$为纯虚奇函数（实部为零）

这一性质在信号处理中很有用——只要知道正频率部分，负频率部分可由对称性完全确定。

时移特性

若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega )$，则：

$f(t-t_0)⟷F(\omega )e^{-j\omega t_0}$

**物理意义：**信号在时域中延时$t_0$，其在频域中幅度谱不变，相位谱增加一个与频率成正比的相移 $-\omega t_0$（即相位在频域中呈线性变化）。

同样地，时域超前则对应正相移：

$f(t+t_0)⟷F(\omega )e^{j\omega t_0}$

频移特性（调制定理）

若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega )$，则：

$f(t)e^{j{\omega }_{0}t}⟷F(\omega -{\omega }_0)$

$f(t)\cos ({\omega }_{0}t)⟷\frac{1}{2}[F(\omega -{\omega }_0)+F(\omega +{\omega }_0)]$

$f(t)\sin ({\omega }_{0}t)⟷\frac{1}{2j}[F(\omega -{\omega }_0)-F(\omega +{\omega }_0)]$

**物理意义：**频移特性是实现调制（Modulation）的理论基础。将信号乘以 $cos({\omega }_{0}t)$或 $sin({\omega }_{0}t)$（载波），相当于将信号的频谱搬移到 $\pm {\omega }_0$处。这就是幅度调制（AM）的核心原理。

尺度变换特性

若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega )$，则对于非零实常数 a：

$f(at)⟷\frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega }{a}\right)$

物理意义：

• 时域压缩（|a| > 1）导致频域展宽，幅度降低
• 时域展宽（|a| < 1）导致频域压缩，幅度增大 -时域反转（$a=-1$）对应频域反转：$f(-t)\leftrightarrow F(-\omega )$

重要推论： 信号的时宽-带宽积为常数。时域越窄的信号，频域越宽；时域越宽的信号，频域越窄。这一性质在通信系统的时频分析中具有根本性的意义。

时域微分特性

若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega )$，且 $f(t)$在 $t\to \pm \infty$时趋于零，则：

$\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}⟷(j\omega {)}^{n}F(\omega )$

应用： 将信号的微分运算转换为频域中的代数乘法，简化微分方程的求解。

**反用：**若 $g(t)$可以表示为某个函数 $f(t)$的导数，则可以先求 $f(t)$的变换再乘以 $j\omega$。但需要注意反用可能涉及广义函数的复合运算，如 $x{\delta }^{\prime }(x)=-\delta (x)$此类关系。

时域积分特性

若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega )$，且 $F(0)=0$（即信号面积为 0），则：

${\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau ⟷\frac{F(\omega )}{j\omega }$

若 $F(0)\ne 0$，则需要引入冲激项：

${\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau ⟷\pi F(0)\delta (\omega )+\frac{F(\omega )}{j\omega }$

频域微分特性

若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega )$，则：

$(-jt{)}^{n}f(t)⟷\frac{d^{n}F(\omega )}{d{\omega }^n}$

特别地，$n=1$时：

$tf(t)⟷j\frac{dF(\omega )}{d\omega }$

应用： 当信号乘以 t 时，对应频域中求导。例如：t·e^{-at}u(t) 的变换可通过单边指数变换求导得到。

频域积分特性

$\frac{f(t)}{-jt}⟷{\int }_{-\infty }^{\omega }F(\Omega )d\Omega$

运用原则： 在利用微分/积分性质时，看到 t·f(t) 的乘法优先使用频域微分；看到 f(t)/t 的形式优先使用频域积分。尽量不反用时域微积分性质处理复合运算，以避免广义函数运算的复杂性。

性质总结

性质	时域	频域
线性	$a{f}_1(t)+b{f}_2(t)$	$a{F}_1(\omega )+b{F}_2(\omega )$
对称性	$F(t)$	$2\pi f(-\omega )$
时移	$f(t-t_0)$	$F(\omega )e^{-j\omega t_0}$
频移	$f(t)e^{j{\omega }_{0}t}$	$F(\omega -{\omega }_0)$
尺度变换	$f(at)$	$\frac{1}{
时域微分	$\frac{d^{n}f}{d{t}^n}$	$(j\omega {)}^{n}F(\omega )$
时域积分	${\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau$	$\frac{F(\omega )}{j\omega }+\pi F(0)\delta (\omega )$
频域微分	$t^{n}f(t)$	$j^n\frac{d^{n}F}{d{\omega }^n}$

链接到

• 上一个知识点：3.6 周期信号的傅里叶变换
• 下一个知识点：3.8 卷积特性与频率响应