4.4 拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换是从 $s$ 域函数 $F(s)$ 恢复时域信号 $f(t)$ 的运算。逆变换的一般公式为：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }F(s)e^{st}ds,t>0$$

其中积分路径 $\text{Re}[s]=\sigma$ 位于 $F(s)$ 的收敛域内。直接计算该复变积分通常较为复杂，实际中常用部分分式法和留数法进行求解。

部分分式法

基本思想

对于有理函数 $F(s)$（分子分母均为 $s$ 的多项式之比）：

$$F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+\cdots +b_0}{a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_0}$$

将 $F(s)$ 分解为多个简单分式之和，每个简单分式对应一个已知的拉普拉斯变换对，通过查表即可求得各分量的时域形式，再利用线性性质求和。

处理步骤

1. 化真分式：若 $m\ge n$（分子次数不低于分母次数），需先用多项式除法将其化为多项式与真分式之和
2. 分母因式分解：将 $D(s)$ 分解为一次因式和二次因式的乘积
3. 部分分式展开：根据极点类型写出展开形式
4. 求待定系数
5. 逐项查表求逆变换

极点分类与展开形式

（1）单实极点

若 $D(s)$ 有 $n$ 个互异的单实根 $p_1,p_2,\dots ,p_n$，则：

$$F(s)=\frac{k_1}{s-p_1}+\frac{k_2}{s-p_2}+\cdots +\frac{k_n}{s-p_n}$$

系数 $k_i$ 可通过下式计算：

$$k_i=(s-p_i)F(s){|}_{s=p_i}$$

逆变换结果：

$$f(t)=\sum _{i=1}^n{k}_i{e}^{p_{i}t}u(t)$$

示例：求 $F(s)=\frac{3s+5}{s^2+3s+2}$ 的逆变换。

分母因式分解：$s^2+3s+2=(s+1)(s+2)$

$$F(s)=\frac{k_1}{s+1}+\frac{k_2}{s+2}$$ $$k_1=(s+1)F(s){|}_{s=-1}=\frac{3s+5}{s+2}{|}_{s=-1}=\frac{2}{1}=2$$ $$k_2=(s+2)F(s){|}_{s=-2}=\frac{3s+5}{s+1}{|}_{s=-2}=\frac{-1}{-1}=1$$ $$f(t)=(2e^{-t}+e^{-2t})u(t)$$

（2）共轭复极点

若 $D(s)$ 有一对共轭复极点 $p_{1,2}=\alpha \pm j\omega$，通常不直接使用复数系数，而是将对应分式合并为：

$$F(s)=\frac{As+B}{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}+\cdots$$

逆变换结果（查正弦/余弦变换对）：

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{\omega }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}\right\}=e^{-\alpha t}\sin (\omega t)u(t)$$ $${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{s+\alpha }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}\right\}=e^{-\alpha t}\cos (\omega t)u(t)$$

示例：求 $F(s)=\frac{s+1}{s^2+2s+5}$ 的逆变换。

配方法：$s^2+2s+5=(s+1{)}^2+4$

$$F(s)=\frac{s+1}{(s+1{)}^2+2^2}$$

由变换对查表得：

$$f(t)=e^{-t}\cos (2t)u(t)$$

（3）重极点

若 $D(s)$ 在 $p_0$ 处有 $r$ 重极点，则部分分式展开中包含：

$$F(s)=\frac{k_{11}}{s-p_0}+\frac{k_{12}}{(s-p_0{)}^2}+\cdots +\frac{k_{1r}}{(s-p_0{)}^r}+\cdots$$

系数计算公式：

$$k_{1j}=\frac{1}{(r-j)!}\frac{d^{r-j}}{d{s}^{r-j}}\left[(s-p_0{)}^{r}F(s)\right]{|}_{s=p_0},j=1,2,\dots ,r$$

逆变换结果：

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-p_0{)}^r}\right\}=\frac{t^{r-1}}{(r-1)!}{e}^{p_{0}t}u(t)$$

示例：求 $F(s)=\frac{1}{s^2(s+1)}$ 的逆变换。

$$F(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s+1}$$

计算系数：

• $B=s^{2}F(s){|}_{s=0}=\frac{1}{s+1}{|}_{s=0}=1$
• $C=(s+1)F(s){|}_{s=-1}=\frac{1}{s^2}{|}_{s=-1}=1$
• 求 $A$：通分后比较分子系数，得 $A=-1$

$$F(s)=-\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s+1}$$ $$f(t)=(-1+t+e^{-t})u(t)$$

留数法

基本原理

留数法直接利用逆变换的复变积分公式，将积分转化为对 $F(s)e^{st}$ 所有极点的留数之和：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }F(s)e^{st}ds=\sum _{k=1}^n\text{Res}\left[F(s)e^{st},p_k\right],t>0$$

其中 $\text{Res}[F(s)e^{st},p_k]$ 为 $F(s)e^{st}$ 在极点 $p_k$ 处的留数。

留数计算方法

单极点

若 $p_k$ 为 $F(s)$ 的一阶极点，则：

$$\text{Res}\left[F(s)e^{st},p_k\right]=\underset{s\to p_k}{\lim }(s-p_k)F(s)e^{st}$$

$r$ 重极点

若 $p_k$ 为 $F(s)$ 的 $r$ 阶极点，则：

$$\text{Res}\left[F(s)e^{st},p_k\right]=\frac{1}{(r-1)!}\underset{s\to p_k}{\lim }\frac{d^{r-1}}{d{s}^{r-1}}\left[(s-p_k{)}^{r}F(s)e^{st}\right]$$

部分分式法与留数法的比较

方法	优点	缺点	适用场景
部分分式法	直观简便，无需复变函数知识	重极点系数计算较繁琐	有理函数 $F(s)$，极点较少
留数法	统一公式，适用于各种极点类型	需复变函数知识，计算留数	极点较多或有重极点

注意事项

1. 收敛域的重要性：相同的 $F(s)$ 表达式若收敛域不同，对应的时域信号也不同。例如 $F(s)=\frac{1}{s+1}$，收敛域 $\text{Re}[s]>-1$ 对应 $e^{-t}u(t)$，收敛域 $\text{Re}[s]<-1$ 对应 $-e^{-t}u(-t)$
2. 因果性：在单边拉普拉斯变换中，默认 $t<0$ 时 $f(t)=0$，因此无需关注收敛域对逆变换的影响
3. 部分分式法查表：熟练掌握常用变换对是快速求解逆变换的关键

链接到

• 上一个知识点：4.3 拉普拉斯变换的性质
• 下一个知识点：4.5 常用拉普拉斯变换对