常用拉普拉斯变换对

常用拉普拉斯变换对是信号与系统分析中计算拉普拉斯变换和逆变换的基础。掌握这些基本变换对，可以快速求解复杂信号的拉普拉斯变换及其逆变换。

基本变换对列表

下表列出了常见的单边拉普拉斯变换对（ $t \geq 0$ 时 $f (t)$ 有定义）：

序号	$f (t)$ （时域）	$F (s)$ （s域）	收敛域
1	$δ (t)$	$1$	全 s 平面
2	$u (t)$	$\frac{1}{s}$	$Re [s] > 0$
3	$t u (t)$	$\frac{1}{s ^{2}}$	$Re [s] > 0$
4	$t^{n} u (t)$	$\frac{n !}{s ^{n + 1}}$	$Re [s] > 0$
5	$e^{- a t} u (t)$	$\frac{1}{s + a}$	$Re [s] > - a$
6	$t e^{- a t} u (t)$	$\frac{1}{( s + a ) ^{2}}$	$Re [s] > - a$
7	$t^{n} e^{- a t} u (t)$	$\frac{n !}{( s + a ) ^{n + 1}}$	$Re [s] > - a$
8	$sin (ω_{0} t) u (t)$	$\frac{ω _{0}}{s ^{2} + ω _{0}^{2}}$	$Re [s] > 0$
9	$cos (ω_{0} t) u (t)$	$\frac{s}{s ^{2} + ω _{0}^{2}}$	$Re [s] > 0$
10	$e^{- a t} sin (ω_{0} t) u (t)$	$\frac{ω _{0}}{( s + a ) ^{2} + ω _{0}^{2}}$	$Re [s] > - a$
11	$e^{- a t} cos (ω_{0} t) u (t)$	$\frac{s + a}{( s + a ) ^{2} + ω _{0}^{2}}$	$Re [s] > - a$
12	$sinh (α t) u (t)$	$\frac{α}{s ^{2} - α ^{2}}$	$\text{Re}[s] >
13	$cosh (α t) u (t)$	$\frac{s}{s ^{2} - α ^{2}}$	$\text{Re}[s] >

L {u (t)} = \int_{0}^{\infty} 1 \cdot e^{- s t} d t = [- \frac{1}{s} e^{- s t}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s}, Re [s] > 0

L {e^{- a t} u (t)} = \int_{0}^{\infty} e^{- a t} e^{- s t} d t = \int_{0}^{\infty} e^{- (s + a) t} d t = \frac{1}{s + a}, Re [s] > - a

利用欧拉公式 $sin (ω_{0} t) = \frac{e ^{j ω_{0} t} - e ^{- j ω_{0} t}}{2 j}$ ：

L {sin (ω_{0} t) u (t)} = \frac{1}{2 j} (\frac{1}{s - j ω _{0}} - \frac{1}{s + j ω _{0}}) = \frac{ω _{0}}{s ^{2} + ω _{0}^{2}}, Re [s] > 0

在求解拉普拉斯逆变换时，通常将复杂的 $F (s)$ 通过部分分式分解（Partial Fraction Expansion）拆分为多个基本变换对的形式，然后利用变换对表和拉普拉斯变换的线性性质逐项求逆变换。这是分析线性系统最常用的方法之一。