4.8 零极点分布与时域特性

零极点分布与时域特性

系统函数 $H(s)$ 的零极点分布决定了系统的时域响应特性。极点位置决定了冲激响应 $h(t)$ 的波形模式，零点则影响各模式之间的相对幅度。

$H(s)$ 的零极点形式

系统函数通常可写为有理函数形式：

$$H(s)=K\cdot \frac{{\prod }_{i=1}^m(s-z_i)}{{\prod }_{j=1}^n(s-p_j)}=K\cdot \frac{N(s)}{D(s)}$$

其中：

• 极点（Pole） $p_j$：使 $H(s)\to \infty$ 的 $s$ 值，即分母 $D(s)=0$ 的根
• 零点（Zero） $z_i$：使 $H(s)=0$ 的 $s$ 值，即分子 $N(s)=0$ 的根
• $K$ 为实常数增益

极点分布与时域波形的对应关系

系统极点分布决定了冲激响应 $h(t)$ 的模式。通过部分分式展开，$H(s)$ 的每一项极点对应 $h(t)$ 中的一个指数模式。

实极点

左半平面实极点（$p=-\alpha ,\alpha >0$）

$$H(s)=\frac{1}{s+\alpha }\Rightarrow h(t)=e^{-\alpha t}u(t)$$

• 极点位于负实轴
• 时域波形为指数衰减
• $\alpha$ 越大，极点离虚轴越远，衰减越快
• 系统稳定

右半平面实极点（$p=\alpha ,\alpha >0$）

$$H(s)=\frac{1}{s-\alpha }\Rightarrow h(t)=e^{\alpha t}u(t)$$

• 极点位于正实轴
• 时域波形为指数增长
• 系统不稳定

原点处的极点（$p=0$）

$$H(s)=\frac{1}{s}\Rightarrow h(t)=u(t)$$

• 阶跃响应形式
• 系统临界稳定（边界稳定）

共轭复极点

左半平面共轭复极点（$p_{1,2}=-\alpha \pm j\omega ,\alpha >0$）

$$H(s)=\frac{\omega }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}\Rightarrow h(t)=e^{-\alpha t}\sin (\omega t)u(t)$$

• 极点位于左半平面（实部为负）
• 时域波形为衰减振荡
• 衰减速率由 $\alpha =|\text{Re}[p]|$ 决定
• 振荡频率由 $\omega =\text{Im}[p]$ 决定
• 极点距虚轴越近（$\alpha$ 越小），振荡衰减越慢
• 系统稳定

虚轴上的共轭复极点（$p_{1,2}=\pm j\omega$）

$$H(s)=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}\Rightarrow h(t)=\sin (\omega t)u(t)$$

• 极点位于虚轴
• 时域波形为等幅振荡
• 系统临界稳定（边界稳定）

右半平面共轭复极点（$p_{1,2}=\alpha \pm j\omega ,\alpha >0$）

$$H(s)=\frac{\omega }{(s-\alpha {)}^2+{\omega }^2}\Rightarrow h(t)=e^{\alpha t}\sin (\omega t)u(t)$$

• 极点位于右半平面（实部为正）
• 时域波形为增长振荡
• 系统不稳定

重极点

左半平面二阶重极点（$p=-\alpha ,\alpha >0$）

$$H(s)=\frac{1}{(s+\alpha {)}^2}\Rightarrow h(t)=t{e}^{-\alpha t}u(t)$$

• 虽然包络仍然衰减，但初始阶段先增长后衰减
• 衰减速率受重极点阶数影响

极点位置与波形关系总结

极点位置（$s$ 平面）	$h(t)$ 波形特征	系统稳定性
左半平面实轴	指数衰减	稳定
左半平面复平面（共轭）	衰减振荡	稳定
虚轴原点	阶跃（常数）	临界稳定
虚轴（非原点共轭）	等幅振荡	临界稳定
右半平面实轴	指数增长	不稳定
右半平面复平面（共轭）	增长振荡	不稳定
重极点（左半平面）	$t^k{e}^{-\alpha t}$ 形式	稳定

极点位置对波形的影响规律

1. 实部决定衰减/增长速度：$\text{Re}[p]$ 的符号和大小决定了指数包络的变化趋势和速率

   • $\text{Re}[p]<0$：衰减，绝对值越大衰减越快
   • $\text{Re}[p]=0$：等幅（不衰减也不增长）
   • $\text{Re}[p]>0$：增长，值越大增长越快

2. 虚部决定振荡频率：$\text{Im}[p]$ 的大小决定了 $h(t)$ 的振荡角频率

   • $\text{Im}[p]=0$：不振荡（指数型）
   • $\text{Im}[p]\ne 0$：振荡，共轭成对出现

3. 极点离虚轴的距离决定了暂态过程的持续时间：距离越近，暂态过程越长

零点对时域波形的影响

零点不会影响 $h(t)$ 中各指数模式的存在性，但会改变各模式的幅度和相位。

• 零点改变了各极点留数（即各模式幅度）的相对大小
• 零点可以抵消某些极点的影响（零极点对消）
• 零点分布影响系统的相频特性

零极点图与 $h(t)$ 波形

通过 $s$ 平面上的零极点分布图，可以大致判断冲激响应 $h(t)$ 的波形特征：

1. 观察极点分布，确定 $h(t)$ 中包含哪些指数模式（衰减/增长/振荡）
2. 根据最靠近虚轴的极点（主导极点）判断 $h(t)$ 的主要行为特征
3. 对比零点位置，判断各模式的相对强度

主导极点：在系统响应中起主导作用的极点，通常是距离虚轴最近的极点（且附近无零点抵消），其对应的时间常数最大，衰减最慢，对系统性能影响最大。

链接到

• 上一个知识点：4.7 系统函数H(s)
• 下一个知识点：4.9 零极点分布与频响特性