4.7 系统函数H(s)

系统函数 H(s)

系统函数的定义

系统函数（System Function）也称为转移函数（Transfer Function），是描述线性时不变（LTI）系统输入输出关系的核心概念。

系统函数 $H(s)$ 定义为：在零状态条件下，系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比：

$$H(s)=\frac{R(s)}{E(s)}=\frac{\mathcal{L}\{\text{零状态响应}\}}{\mathcal{L}\{\text{激励}\}}$$

其中 $E(s)$ 为激励（输入）信号的拉普拉斯变换，$R(s)$ 为零状态响应的拉普拉斯变换。

系统函数与冲激响应的关系

系统的冲激响应 $h(t)$ 是系统在单位冲激信号 $\delta (t)$ 激励下的零状态响应。由于 $\delta (t)⟷1$，由系统函数定义：

$$H(s)=\frac{\mathcal{L}\{h(t)\}}{1}=\mathcal{L}\{h(t)\}$$

即系统函数是冲激响应的拉普拉斯变换，二者构成拉普拉斯变换对：

$$h(t)⟷H(s)$$

系统函数与系统响应的关系

对于任意输入 $x(t)$，系统的零状态响应 $y_{zs}(t)$ 满足：

$$y_{zs}(t)=x(t)\ast h(t)$$

由时域卷积定理：

$$Y_{zs}(s)=X(s)\cdot H(s)$$

因此：

$$y_{zs}(t)={\mathcal{L}}^{-1}\{X(s)H(s)\}$$

策动点函数与转移函数

根据系统输入-输出端口的定义位置不同，系统函数可分为两类。

策动点函数（Driving-Point Function）

策动点函数是指输入和输出在同一端对的系统函数，也称为输入阻抗或输入导纳：

• 策动点阻抗：$Z(s)=\frac{V(s)}{I(s)}$
• 策动点导纳：$Y(s)=\frac{I(s)}{V(s)}$

策动点函数反映了从某一端口看进去的网络特性。

转移函数（Transfer Function）

转移函数是指输入和输出在不同端对的系统函数，常见类型：

类型	定义	量纲
转移阻抗	$Z_{21}(s)=\frac{V_2(s)}{I_1(s)}$	阻抗（欧姆）
转移导纳	$Y_{21}(s)=\frac{I_2(s)}{V_1(s)}$	导纳（西门子）
电压传递函数	$H_v(s)=\frac{V_2(s)}{V_1(s)}$	无量纲
电流传递函数	$H_i(s)=\frac{I_2(s)}{I_1(s)}$	无量纲

系统函数的求解方法

1. 由微分方程求 $H(s)$

若系统由 $n$ 阶微分方程描述：

$$\sum _{k=0}^n{a}_k\frac{d^{k}y(t)}{d{t}^k}=\sum _{k=0}^m{b}_k\frac{d^{k}x(t)}{d{t}^k}$$

在零状态条件（所有初始条件为零）下取拉普拉斯变换：

$$\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{s}^k\right)Y(s)=\left(\sum _{k=0}^m{b}_k{s}^k\right)X(s)$$

则系统函数为：

$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{{\sum }_{k=0}^m{b}_k{s}^k}{{\sum }_{k=0}^n{a}_k{s}^k}$$

2. 由电路求 $H(s)$

将电路中所有元件用 $s$ 域模型表示（初始条件置零），运用基尔霍夫定律列写代数方程，直接求解 $V_{out}(s)/V_{in}(s)$ 或 $I_{out}(s)/I_{in}(s)$。

示例：RC 低通滤波器

$$H(s)=\frac{V_c(s)}{V_s(s)}=\frac{1/sC}{R+1/sC}=\frac{1}{RCs+1}=\frac{1/\tau }{s+1/\tau }$$

其中 $\tau =RC$ 为时间常数。

3. 由冲激响应求 $H(s)$

直接对冲激响应 $h(t)$ 做拉普拉斯变换：

$$H(s)={\int }_0^{\infty }h(t)e^{-st}dt$$

系统函数的零极点形式

系统函数通常可以表示为有理函数形式，将其分子分母进行因式分解：

$$H(s)=K\cdot \frac{{\prod }_{i=1}^m(s-z_i)}{{\prod }_{j=1}^n(s-p_j)}$$

其中：

• $z_i$ 为系统的零点（Zero），使 $H(s)=0$ 的 $s$ 值
• $p_j$ 为系统的极点（Pole），使 $H(s)\to \infty$ 的 $s$ 值
• $K$ 为增益常数

零极点与系统特性

• 极点决定系统的自然响应模式：极点位置决定了冲激响应 $h(t)$ 中包含的指数项形式
• 零点影响各频率分量对系统响应的贡献大小
• 系统的稳定性由极点位置判定：所有极点位于左半平面时系统稳定

$H(s)$ 与频率响应 $H(j\omega )$ 的关系

对于稳定系统，当输入为正弦信号时，系统的频率响应可通过在 $s$ 域中令 $s=j\omega$ 得到：

$$H(j\omega )=H(s){|}_{s=j\omega }$$

这建立了系统函数与系统频域特性之间的联系，是频域分析的基础。

$H(s)$ 的应用总结

1. 求解系统响应：$Y_{zs}(s)=H(s)X(s)$，逆变换得 $y_{zs}(t)$
2. 分析系统特性：通过零极点分布判断系统稳定性、因果性
3. 频率响应分析：$H(j\omega )=H(s){|}_{s=j\omega }$ 给出系统幅频和相频特性
4. 系统设计与综合：根据性能指标要求设计满足特定零极点分布的系统
5. 系统互联分析：级联、并联、反馈系统的 $H(s)$ 可通过子系统 $H(s)$ 计算
   • 级联：$H(s)=H_1(s)H_2(s)$
   • 并联：$H(s)=H_1(s)+H_2(s)$
   • 反馈：$H(s)=\frac{H_1(s)}{1\pm H_1(s)H_2(s)}$

链接到

• 上一个知识点：4.6 用拉普拉斯变换分析电路
• 下一个知识点：4.8 零极点分布与时域特性
• 相关知识点：5.4 系统函数的频域分析、6.8 离散系统系统函数