4.1 拉普拉斯变换定义

拉普拉斯变换定义

从傅里叶变换到拉普拉斯变换

傅里叶变换将时域信号分解为虚指数信号 $e^{j\omega t}$ 的叠加，要求信号满足绝对可积条件（狄利克雷条件）。然而，许多常用的信号（如阶跃信号 $u(t)$、增长指数信号 $e^{\alpha t}u(t)$ 等）不满足绝对可积条件，其傅里叶变换不存在或难以处理。

拉普拉斯变换通过引入衰减因子 $e^{-\sigma t}$（$\sigma$ 为实数），将被变换信号乘以该衰减因子，使其满足绝对可积条件，从而将傅里叶变换推广到更广泛的信号类别。

双边拉普拉斯变换

对于连续时间信号 $f(t)$，其双边拉普拉斯变换定义为：

$$F_B(s)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$

其中 $s=\sigma +j\omega$ 为复频率（Complex Frequency），是一个复变量。

与傅里叶变换 $F(j\omega )=\int f(t)e^{-j\omega t}dt$ 对比可见，拉普拉斯变换相当于将 $f(t)$ 乘以 $e^{-\sigma t}$ 后再进行傅里叶变换：

$$F_B(\sigma +j\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }\left[f(t)e^{-\sigma t}\right]e^{-j\omega t}dt=\mathcal{F}\{f(t)e^{-\sigma t}\}$$

单边拉普拉斯变换

在实际工程应用中，信号往往有起始时刻（通常设 $t=0$ 为起始时刻），因此更常用的是单边（或单侧）拉普拉斯变换：

$$F(s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$

其中积分下限取 $0^{-}$ 是为了将 $t=0$ 时刻可能出现的冲激及其导数包含在内。

单边与双边的区别

特性	单边拉普拉斯变换	双边拉普拉斯变换
积分区间	$[0^{-},\infty )$	$(-\infty ,\infty )$
应用场景	因果系统、初值问题	双边信号、非因果系统
收敛域	收敛域为某一收敛坐标 ${\sigma }_0$ 以右的半平面	收敛域为带状区域
逆变换	$f(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }F(s)e^{st}ds$ 乘 $u(t)$	同上但不乘 $u(t)$

拉普拉斯逆变换

由 $F(s)$ 恢复时域信号 $f(t)$ 的运算称为拉普拉斯逆变换：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }F(s)e^{st}ds,t>0$$

其中积分路径为 $s$ 平面上平行于虚轴的一条直线（$\text{Re}[s]=\sigma$），且 $\sigma$ 位于收敛域内。

对于单边拉普拉斯变换，$t<0$ 时 $f(t)=0$。

拉普拉斯变换的物理意义

1. 复频率 $s=\sigma +j\omega$：实部 $\sigma$ 决定信号的幅度增长或衰减速率，虚部 $\omega$ 决定信号的振荡频率
2. $F(s)$ 是复函数：描述了信号随复频率 $s$ 变化的复幅度分布
3. 信号分解：拉普拉斯变换将时域信号分解为复指数信号 $e^{st}$ 的加权积分，权重即为 $F(s)$

存在条件

拉普拉斯变换存在的充分条件是 $f(t)e^{-\sigma t}$ 绝对可积：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t)e^{-\sigma t}|dt<\infty$$

即：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma t}dt<\infty$$

使上述积分收敛的 $\sigma$ 取值范围称为收敛域（Region of Convergence, ROC）。

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• 相关知识点：6.1 z变换定义与收敛域