z变换定义与收敛域

Z变换（Z-Transform）是离散时间信号与系统分析中的重要工具，类似于拉普拉斯变换在连续时间系统中的地位。它将离散时间序列映射到复平面上的函数，简化了差分方程的求解和系统特性的分析。

z变换定义

对于离散时间序列 $x [n]$ ，其双边z变换定义为：

X (z) = n = - \infty \sum \infty x [n] z^{- n}

其中 $z = r e^{jω}$ 是一个复变量， $r = ∣ z ∣$ 为幅度， $ω$ 为相位角。

在实际工程中，序列往往从 $n = 0$ 开始，因此更常用的是单边z变换：

X (z) = n = 0 \sum \infty x [n] z^{- n}

z变换的收敛域（Region of Convergence, ROC）是使级数 $\sum_{n = - \infty}^{\infty} ∣ x [n] z^{- n} ∣$ 收敛的 $z$ 的取值范围。收敛域是 $z$ 平面上的环状区域，由收敛半径决定。

右边序列满足 $n < N_{1}$ 时 $x [n] = 0$ 。其z变换的收敛域为 $∣ z ∣ > R_{1}$ ，即半径为 $R_{1}$ 的圆外区域。例如，因果序列 $a^{n} u [n]$ 的z变换为：

X (z) = n = 0 \sum \infty a^{n} z^{- n} = \frac{1}{1 - a z ^{- 1}} = \frac{z}{z - a}, ∣ z ∣ > ∣ a ∣

左边序列满足 $n > N_{2}$ 时 $x [n] = 0$ 。其z变换的收敛域为 $∣ z ∣ < R_{2}$ ，即半径为 $R_{2}$ 的圆内区域。例如， $- a^{n} u [- n - 1]$ 的z变换为：

X (z) = - n = - \infty \sum - 1 a^{n} z^{- n} = \frac{z}{z - a}, ∣ z ∣ < ∣ a ∣

双边序列在 $n$ 的正负方向都有定义。其z变换的收敛域为 $R_{1} < ∣ z ∣ < R_{2}$ ，即两个圆之间的环状区域。

时限序列仅在有限区间 $N_{1} \leq n \leq N_{2}$ 内非零。其z变换的收敛域为整个 $z$ 平面，可能除去 $z = 0$ 或 $z = \infty$ 。

z变换与拉普拉斯变换通过 $z = e^{s T_{s}}$ 建立联系（ $T_{s}$ 为抽样周期）， $z$ 平面与 $s$ 平面的映射关系为：

收敛域对于z变换的唯一性和系统分析至关重要：