抽样信号恢复

抽样信号恢复是指从离散的抽样样本中重建原始的连续时间信号。根据奈奎斯特抽样定理，当抽样频率满足 $ω_{s} \geq 2 ω_{m}$ （ $ω_{m}$ 为信号最高频率）时，可以通过理想低通滤波器无失真地从抽样信号中恢复原始信号。

理想低通滤波器恢复

当满足奈奎斯特条件时，将抽样信号 $f_{s} (t)$ 通过一个截止频率为 $ω_{c}$ （ $ω_{m} \leq ω_{c} \leq ω_{s} /2$ ）的理想低通滤波器，即可恢复原信号：

F (ω) = F_{s} (ω) \cdot H (ω)

其中 $H (ω)$ 为理想低通滤波器的频率响应：

H (ω) = {T_{s}, ∣ ω ∣ < ω_{c} /0, ∣ ω ∣ > ω_{c}

理想低通滤波器的冲激响应为 $h (t) = \frac{T _{s} ω _{c}}{π} Sa (ω_{c} t)$ 。取 $ω_{c} = ω_{s} /2 = π / T_{s}$ ，则恢复后的信号为：

f (t) = f_{s} (t) * h (t) = n = - \infty \sum \infty f (n T_{s}) \cdot Sa (\frac{π}{T _{s}} (t - n T_{s}))

这就是著名的 Whittaker-Shannon 重建公式（内插公式）。

内插公式的物理解释是：将每个抽样点 $f (n T_{s})$ 作为一个位于 $t = n T_{s}$ 时刻的 Sa 函数（抽样函数）的幅度，将所有 Sa 函数叠加即可重建完整的连续信号。

要无失真地恢复原始信号，必须满足以下条件：

在实际系统中，理想低通滤波器无法实现，通常采用以下近似方法：

零阶保持（Zero-Order Hold）：将每个抽样点的值保持到下一个抽样时刻，形成阶梯波形。零阶保持会引入孔径效应失真，需要在恢复时通过补偿滤波器校正
一阶保持（First-Order Hold）：在抽样点之间进行线性插值，比零阶保持更平滑
高阶插值：使用更复杂的插值算法（如三次样条插值）提高重建精度

当抽样频率不满足奈奎斯特条件时，会发生频谱混叠，混叠成分无法通过滤波去除，导致信号失真。因此在实际应用中，抽样前常使用抗混叠低通滤波器将信号限制在 $ω_{s} /2$ 以内。