6.10 数字滤波器

数字滤波器

数字滤波器通过对离散信号进行运算处理，实现保留或增强特定频率分量、衰减或去除其他频率分量的功能。数字滤波器的设计本质上是系统函数 $H(z)$ 的零极点配置问题。

---

数字滤波器的分类

按频率响应特性分类

类型	通带	阻带	理想特性
低通（LPF）	$[0,{\Omega }_c]$	$[{\Omega }_c,\pi ]$	低频通过，高频衰减
高通（HPF）	$[{\Omega }_c,\pi ]$	$[0,{\Omega }_c]$	高频通过，低频衰减
带通（BPF）	$[{\Omega }_{c1},{\Omega }_{c2}]$	$[0,{\Omega }_{c1}]\cup [{\Omega }_{c2},\pi ]$	特定频带通过
带阻（BSF）	$[0,{\Omega }_{c1}]\cup [{\Omega }_{c2},\pi ]$	$[{\Omega }_{c1},{\Omega }_{c2}]$	特定频带衰减

其中 ${\Omega }_c$ 为截止频率（Cutoff Frequency），通常定义为增益下降3dB的点。

按冲激响应长度分类

FIR滤波器（Finite Impulse Response）

• $h[n]$ 为有限长序列
• $H(z)$ 只有零点（极点全在 $z=0$）
• 始终稳定
• 可实现线性相位（信号无相位失真）
• 设计灵活（窗函数法、频率采样法、最小二乘法）
• 阶数通常较高（计算量大）

IIR滤波器（Infinite Impulse Response）

• $h[n]$ 为无限长序列
• $H(z)$ 既有零点也有极点
• 可能存在稳定性问题（需确保极点在单位圆内）
• 相位通常为非线性
• 可用模拟滤波器转换得到（脉冲响应不变法、双线性变换法）
• 阶数低，计算效率高

---

数字滤波器的零极点配置设计

基本设计原则

1. 在需要增强的频率处设置极点（靠近单位圆）
2. 在需要衰减的频率处设置零点（通常在单位圆上）
3. 确保稳定性：所有极点在单位圆内
4. 实系数系统：零极点需共轭成对出现
5. 因果实现：分子次数不高于分母次数

低通滤波器

零极点配置：

• 极点：在正实轴靠近 $z=1$ 处配置极点（$p\approx 1$，但 $|p|<1$）
• 零点：在 $z=-1$（$\Omega =\pi$）处配置零点

一阶低通：

$$H(z)=\frac{1-\alpha }{2}\cdot \frac{z+1}{z-\alpha },-1<\alpha <1$$

极点 $p=\alpha$，零点 $z=-1$。$\alpha$ 越接近1，低频增益越大，通带越窄。

高通滤波器

零极点配置：

• 极点：在负实轴靠近 $z=-1$ 处配置极点（$p\approx -1$，但 $|p|<1$）
• 零点：在 $z=1$（$\Omega =0$）处配置零点

一阶高通：

$$H(z)=\frac{1+\alpha }{2}\cdot \frac{z-1}{z-\alpha },-1<\alpha <1$$

极点 $p=\alpha$，零点 $z=1$。

带通滤波器

零极点配置：

• 共轭极点：在 $z=r{e}^{\pm j{\Omega }_0}$（$r<1$ 但接近1）
• 零点：在 $z=1$（$\Omega =0$）和 $z=-1$（$\Omega =\pi$）处

二阶带通：

$$H(z)=\frac{1-r^2}{2}\cdot \frac{z^2-1}{z^2-2r\cos {\Omega }_{0}z+r^2}$$

• 中心频率：${\Omega }_0$
• 带宽由 $r$ 控制：$r$ 越接近1，带宽越窄，选择性越好
• 3dB带宽近似为 $\Delta \Omega \approx 2(1-r)$

带阻滤波器（陷波器）

零极点配置：

• 共轭零点：在 $z=e^{\pm j{\Omega }_0}$（单位圆上，确定陷波频率）
• 共轭极点：在 $z=r{e}^{\pm j{\Omega }_0}$（$r<1$，控制陷波宽度）

二阶带阻（陷波器）：

$$H(z)=\frac{z^2-2\cos {\Omega }_{0}z+1}{z^2-2r\cos {\Omega }_{0}z+r^2}$$

• 陷波频率：${\Omega }_0$
• $r$ 越接近1，陷波带宽越窄，阻带越尖锐
• 当 $r\to 1$ 时，陷波趋近于无限深但带宽趋近于0

---

FIR滤波器的线性相位条件

线性相位的含义

线性相位意味着相位响应为频率的线性函数：

$$\phi (\Omega )=-\alpha \Omega$$

群延迟为常数：${\tau }_g(\Omega )=\alpha$，所有频率分量经历相同的延迟，信号波形无失真。

线性相位FIR的条件

FIR滤波器具有线性相位的充要条件是单位样值响应满足对称性：

偶对称： $h[n]=h[N-1-n]$ 奇对称： $h[n]=-h[N-1-n]$

其中 $N$ 为滤波器长度。

四种线性相位FIR类型

类型	对称性	$N$	适用
I型	偶对称	奇数	所有滤波器（LPF, HPF, BPF, BSF）
II型	偶对称	偶数	LPF, BPF（在 $\Omega =\pi$ 处无传输）
III型	奇对称	奇数	差分器、希尔伯特变换器
IV型	奇对称	偶数	高通差分器、希尔伯特变换器

---

数字滤波器的技术指标

通带指标

• 通带截止频率 ${\Omega }_p$：通带边缘频率
• 通带最大衰减 $A_p$（dB）：通带内允许的最大幅度变化
• 通带波纹 ${\delta }_p$：通带内幅度的允许波动

阻带指标

• 阻带起始频率 ${\Omega }_s$：阻带边缘频率
• 阻带最小衰减 $A_s$（dB）：阻带内的最小衰减量
• 阻带波纹 ${\delta }_s$：阻带内幅度的允许波动

过渡带

$$\Delta \Omega =|{\Omega }_s-{\Omega }_p|$$

过渡带越窄，滤波器阶数越高，实现越复杂。

---

IIR滤波器设计方法

脉冲响应不变法（Impulse Invariance）

1. 设计模拟滤波器 $H_c(s)$
2. 采样模拟冲激响应：$h[n]=T{h}_c(nT)$
3. 取z变换得到 $H(z)$

特点： 时域逼近好，但存在频谱混叠，不适合高通和带阻滤波器。

双线性变换法（Bilinear Transform）

1. 设计模拟滤波器 $H_c(s)$
2. 代入 $s=\frac{2}{T}\cdot \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$（双线性变换）

$$H(z)=H_c(s){|}_{s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}$$

特点：

• s平面到z平面是一一映射，无混叠
• 但频率轴发生非线性压缩（频率弯曲，Frequency Warping）
• 需进行频率预畸变（Pre-warping）补偿

---

数字滤波器的实现结构

FIR实现结构

• 直接型（横截型）：$y[n]={\sum }_{k=0}^{N-1}h[k]x[n-k]$
• 级联型：将 $H(z)$ 分解为二阶节乘积
• 频率采样型：基于频域采样定理实现
• 快速卷积型：利用FFT实现

IIR实现结构

• 直接I型：先用前馈部分后用反馈部分
• 直接II型：先用反馈部分后用前馈部分（标准型，节省存储单元）
• 级联型：二阶节级联（最常用，便于控制零极点）
• 并联型：二阶节并联（便于控制极点增益）

---

实际应用

• 音频处理：均衡器、降噪、回声消除
• 通信系统：脉冲成形、匹配滤波、信道均衡
• 生物医学信号处理：ECG去噪、EEG频带提取
• 图像处理：图像平滑、边缘检测
• 控制系统：数字控制器、锁相环
• 雷达/声纳：脉冲压缩、多普勒处理

链接到

• 上一个知识点：6.9 离散系统频率响应
• 下一个知识点：无（本章最后一个知识点）
• 相关知识点：4.11 滤波器类型、5.6 群时延与相位失真