6.2 典型序列的z变换

典型序列的z变换

掌握典型序列的z变换对是进行z变换分析和求解的基础。这些变换对在信号处理中频繁出现，需熟记。

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单位冲激序列

单位样值信号

$$\delta [n]=\{\begin{array}{llc}1,& n=0/0,& n\ne 0\end{array}$$ $$\mathcal{Z}\{\delta [n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta [n]z^{-n}=1$$

• ROC：整个z平面

移位单位样值信号

$$\mathcal{Z}\{\delta [n-k]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta [n-k]z^{-n}=z^{-k}$$

• $k>0$（右移）：ROC为除 $z=0$ 外的全平面
• $k<0$（左移）：ROC为除 $z=\infty$ 外的全平面
• $k=0$：ROC为整个z平面

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单位阶跃序列

$$u[n]=\{\begin{array}{llc}1,& n\ge 0/0,& n<0\end{array}$$ $$U(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{z}^{-n}=\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1},|z|>1$$

• 收敛条件：$|z^{-1}|<1\Rightarrow |z|>1$
• 极点：$z=1$

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单边指数序列

实指数序列（因果）

$$x[n]=a^{n}u[n]$$ $$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}^n{z}^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }(a{z}^{-1}{)}^n=\frac{1}{1-a{z}^{-1}}=\frac{z}{z-a},|z|>|a|$$

• 极点：$z=a$
• 零点：$z=0$
• 当 $|a|<1$ 时，序列收敛（衰减）；当 $|a|>1$ 时，序列发散
• 当 $a=1$ 时退化为单位阶跃序列

实指数序列（反因果）

$$x[n]=-a^{n}u[-n-1]$$ $$X(z)=-\sum _{n=-\infty }^{-1}{a}^n{z}^{-n}=-\sum _{m=1}^{\infty }{a}^{-m}{z}^m=1-\sum _{m=0}^{\infty }(a^{-1}z{)}^m=\frac{z}{z-a},|z|<|a|$$

• 相同的 $X(z)$ 表达式，但ROC不同（$|z|<|a|$）
• 这体现了指定ROC时才能唯一确定序列

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多重极点指数序列

$n{a}^{n-1}u[n]$

$$\mathcal{Z}\{n{a}^{n-1}u[n]\}=\frac{z}{(z-a{)}^2},|z|>|a|$$

• 这是 $a^{n}u[n]$ 的z域微分结果
• 二重极点：$z=a$

$n{a}^{n}u[n]$

$$\mathcal{Z}\{n{a}^{n}u[n]\}=\frac{az}{(z-a{)}^2},|z|>|a|$$

一般形式

$$\mathcal{Z}\{C(n,k)a^{n-k}u[n]\}=\frac{z}{(z-a{)}^{k+1}}$$

其中 $C(n,k)$ 为二项式系数。

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指数衰减序列

$$x[n]=e^{-\alpha n}u[n],\alpha >0$$ $$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{e}^{-\alpha n}{z}^{-n}=\frac{1}{1-e^{-\alpha }{z}^{-1}}=\frac{z}{z-e^{-\alpha }},|z|>e^{-\alpha }$$

• 极点：$z=e^{-\alpha }$
• 当 $\alpha >0$ 时，$e^{-\alpha }<1$，极点在单位圆内

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正弦与余弦序列

正弦序列

$$x[n]=\sin ({\omega }_{0}n)u[n]$$

利用欧拉公式展开：

$$\sin ({\omega }_{0}n)=\frac{e^{j{\omega }_{0}n}-e^{-j{\omega }_{0}n}}{2j}$$

结合指数序列的z变换：

$$X(z)=\frac{1}{2j}\left[\frac{z}{z-e^{j{\omega }_0}}-\frac{z}{z-e^{-j{\omega }_0}}\right]=\frac{z\sin {\omega }_0}{z^2-2z\cos {\omega }_0+1},|z|>1$$

• 极点：$z=e^{\pm j{\omega }_0}$（在单位圆上）
• 零点：$z=0$ 和 $z=\infty$

余弦序列

$$x[n]=\cos ({\omega }_{0}n)u[n]$$

利用欧拉公式展开：

$$\cos ({\omega }_{0}n)=\frac{e^{j{\omega }_{0}n}+e^{-j{\omega }_{0}n}}{2}$$ $$X(z)=\frac{1}{2}\left[\frac{z}{z-e^{j{\omega }_0}}+\frac{z}{z-e^{-j{\omega }_0}}\right]=\frac{z(z-\cos {\omega }_0)}{z^2-2z\cos {\omega }_0+1},|z|>1$$

• 极点：$z=e^{\pm j{\omega }_0}$（在单位圆上）
• 零点：$z=0$ 和 $z=\cos {\omega }_0$

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指数调制正弦/余弦序列

指数衰减正弦序列

$$x[n]=a^n\sin ({\omega }_{0}n)u[n]$$ $$X(z)=\frac{az\sin {\omega }_0}{z^2-2az\cos {\omega }_0+a^2},|z|>|a|$$

指数衰减余弦序列

$$x[n]=a^n\cos ({\omega }_{0}n)u[n]$$ $$X(z)=\frac{z(z-a\cos {\omega }_0)}{z^2-2az\cos {\omega }_0+a^2},|z|>|a|$$

• 极点：$z=a{e}^{\pm j{\omega }_0}$（在半径为 $|a|$ 的圆上）

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常用z变换对汇总

序号	序列 $x[n]$	$X(z)$	ROC
1	$\delta [n]$	$1$	全z平面
2	$\delta [n-k]$	$z^{-k}$	$
3	$u[n]$	$\frac{z}{z-1}$	$
4	$-u[-n-1]$	$\frac{z}{z-1}$	$
5	$a^{n}u[n]$	$\frac{z}{z-a}$	$
6	$-a^{n}u[-n-1]$	$\frac{z}{z-a}$	$
7	$n{a}^{n-1}u[n]$	$\frac{z}{(z-a{)}^2}$	$
8	$n{a}^{n}u[n]$	$\frac{az}{(z-a{)}^2}$	$
9	$e^{-\alpha n}u[n]$	$\frac{z}{z-e^{-\alpha }}$	$
10	$\sin ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{z\sin {\omega }_0}{z^2-2z\cos {\omega }_0+1}$	$
11	$\cos ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{z(z-\cos {\omega }_0)}{z^2-2z\cos {\omega }_0+1}$	$
12	$a^n\sin ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{az\sin {\omega }_0}{z^2-2az\cos {\omega }_0+a^2}$	$
13	$a^n\cos ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{z(z-a\cos {\omega }_0)}{z^2-2az\cos {\omega }_0+a^2}$	$

链接到

• 上一个知识点：6.1 z变换定义与收敛域
• 下一个知识点：6.3 z变换的性质