z变换的性质

z变换的性质为分析和计算提供了有效工具，利用这些性质可以由已知变换对推导出复杂序列的变换，而无需直接进行级数求和。

线性（Linearity）

若 $x_{1} [n] \leftrightarrow X_{1} (z)$ ，ROC $= R_{1}$ ， $x_{2} [n] \leftrightarrow X_{2} (z)$ ，ROC $= R_{2}$ ，则：

Z {a x_{1} [n] + b x_{2} [n]} = a X_{1} (z) + b X_{2} (z)

ROC至少为 $R_{1} \cap R_{2}$
若出现零极点抵消，ROC可能扩大

时移性质（Time Shifting）

双边z变换

Z {x [n - k]} = z^{- k} X (z)

ROC： $R$ （可能增加或除去 $z = 0$ 或 $z = \infty$ ）

单边z变换

右移（延迟）：

Z {x [n - k] u [n]} = z^{- k} X (z) + z^{- k} n = 0 \sum k - 1 x [n] z^{- n}, k > 0

对于因果序列 $x [n]$ （ $x [n] = 0, n < 0$ ）：

Z {x [n - k] u [n]} = z^{- k} X (z)

右移特性的详细形式：

Z {x [n - 1]} = z^{- 1} X (z) + x [- 1]

Z {x [n - 2]} = z^{- 2} X (z) + x [- 2] + x [- 1] z^{- 1}

左移（超前）：

Z {x [n + k] u [n]} = z^{k} X (z) - z^{k} n = 0 \sum k - 1 x [n] z^{- n}, k > 0

具体形式：

Z {x [n + 1]} = z X (z) - z x [0]

Z {x [n + 2]} = z^{2} X (z) - z^{2} x [0] - z x [1]

z域微分（Differentiation in z-Domain）

Z {n x [n]} = - z \frac{d X ( z )}{d z}

推广形式：

Z {n^{k} x [n]} = (- z \frac{d}{d z})^{k} X (z)

应用： 由 $a^{n} u [n]$ 的z变换推导 $n a^{n} u [n]$ 的z变换

Z {a^{n} u [n]} = \frac{z}{z - a}

Z {n a^{n} u [n]} = - z \frac{d}{d z} (\frac{z}{z - a}) = \frac{a z}{( z - a ) ^{2}}

z域尺度变换（Scaling in z-Domain）

乘以指数序列（指数加权）

Z {a^{n} x [n]} = X (\frac{z}{a})

若 $X (z)$ 的ROC为 $R$ ，则 $X (z / a)$ 的ROC为 $∣ a ∣ R$

乘以复指数（调制）

Z {e^{j Ω_{0} n} x [n]} = X (e^{- j Ω_{0}} z) = X (z e^{- j Ω_{0}})

ROC为 $R$ （仅旋转）

时间反转（Time Reversal）

Z {x [- n]} = X (z^{- 1})

若原ROC为 $R : a < ∣ z ∣ < b$ ，则反转后ROC为 $1/ b < ∣ z ∣ < 1/ a$

初值定理（Initial Value Theorem）

若 $x [n]$ 为因果序列（ $x [n] = 0, n < 0$ ），则：

x [0] = z \to \infty lim X (z)

证明： $X (z) = x [0] + x [1] z^{- 1} + x [2] z^{- 2} + \dots$ ，当 $z \to \infty$ 时所有 $z^{- k}$ 项趋于零。

终值定理（Final Value Theorem）

若 $x [n]$ 为因果序列，且 $(z - 1) X (z)$ 的极点全部在单位圆内（ $∣ z ∣ = 1$ 处只允许 $z = 1$ 的单极点），则：

n \to \infty lim x [n] = z \to 1 lim (z - 1) X (z)

限制条件：

序列必须收敛到稳态值（系统稳定）
$(z - 1) X (z)$ 在单位圆上不能有 $z = 1$ 以外的极点

时域卷积定理（Convolution in Time Domain）

Z {x_{1} [n] * x_{2} [n]} = X_{1} (z) X_{2} (z)

其中卷积定义为：

x_{1} [n] * x_{2} [n] = k = - \infty \sum \infty x_{1} [k] x_{2} [n - k]

ROC至少为 $R_{1} \cap R_{2}$
这是LTI系统分析的核心性质：时域卷积等价于z域相乘

时域求和性质（Accumulation）

Z {k = - \infty \sum n x [k]} = \frac{z}{z - 1} X (z)

ROC： $R \cap {∣ z ∣ > 1}$

共轭性质（Conjugation）

Z {x^{*} [n]} = X^{*} (z^{*})

若 $x [n]$ 为实序列，则 $X (z) = X^{*} (z^{*})$ ，即 $X (z)$ 的零极点呈共轭对称分布。

性质总结表

性质	时域	z域	ROC
线性	$a x_{1} + b x_{2}$	$a X_{1} + b X_{2}$	至少 $R_{1} \cap R_{2}$
时移（双边）	$x [n - k]$	$z^{- k} X (z)$	$R$ （可能增删0或 $\infty$ ）
右移（单边）	$x [n - 1]$	$z^{- 1} X (z) + x [- 1]$	—
左移（单边）	$x [n + 1]$	$z X (z) - z x [0]$	—
z域微分	$n x [n]$	$- z d X (z) / d z$	$R$
指数加权	$a^{n} x [n]$	$X (z / a)$	$
时间反转	$x [- n]$	$X (z^{- 1})$	$1/ R$
卷积	$x_{1} [n] * x_{2} [n]$	$X_{1} (z) X_{2} (z)$	至少 $R_{1} \cap R_{2}$
求和	$\sum_{k = - \infty}^{n} x [k]$	$\frac{z}{z - 1} X (z)$	$R \cap {
初值定理	$x [0] = lim_{z \to \infty} X (z)$	—	因果序列
终值定理	$lim_{n \to \infty} x [n] = lim_{z \to 1} (z - 1) X (z)$	—	序列收敛

链接到

上一个知识点：6.2 典型序列的z变换
下一个知识点：6.4 逆z变换
相关知识点：1.7 系统分类与LTI系统

📚 Study Notes

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6.3 z变换的性质