6.4 逆z变换

逆z变换

逆z变换是从z域表达式 $X(z)$ 恢复时域序列 $x[n]$ 的过程。由于同一 $X(z)$ 对应不同的序列（取决于ROC），逆变换必须结合ROC来确定正确的序列形式。

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逆z变换的通用定义

对于双边z变换，逆变换由围线积分（Contour Integral）给出：

$$x[n]=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}X(z)z^{n-1}dz$$

其中 $C$ 为ROC内逆时针方向的闭合围线，包围所有极点。

实际应用中通常不直接计算围线积分，而是采用以下三种常用方法。

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部分分式展开法（Partial Fraction Expansion）

基本思路

将 $X(z)$ 分解为简单分式之和，每个分式对应一个基本序列的z变换，结合ROC得到最终序列。

展开步骤

1. 将 $X(z)$ 表示为有理分式形式：$X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}$
2. 将 $X(z)/z$ 或 $X(z)$ 展开为部分分式（因常见变换对的形式为 $\frac{z}{z-a}$）
3. 查表得到每个分式对应的时域序列
4. 根据ROC确定序列的因果/反因果性质

方法一：对 $X(z)/z$ 进行展开

将 $X(z)$ 写成 $X(z)/z$ 的形式再展开：

$$\frac{X(z)}{z}=\sum _k\frac{A_k}{z-p_k}$$

其中 $p_k$ 为极点，$A_k$ 为留数（Residue）。

$$X(z)=\sum _k\frac{A_{k}z}{z-p_k}$$

方法二：对 $X(z)$ 直接展开

将 $X(z)$ 表示为：

$$X(z)=\sum _k\frac{B_k}{1-p_k{z}^{-1}}$$

示例

求 $X(z)=\frac{z}{(z-1)(z-2)}$ 的逆变换（ROC：$|z|>2$）

解：

$$\frac{X(z)}{z}=\frac{1}{(z-1)(z-2)}=\frac{-1}{z-1}+\frac{1}{z-2}$$ $$X(z)=-\frac{z}{z-1}+\frac{z}{z-2}$$

因ROC为 $|z|>2$，序列为右边序列（因果）：

$$x[n]=(-1\cdot 1^n+1\cdot 2^n)u[n]=(-1+2^n)u[n]$$

极点阶数大于1的情况

对于 $m$ 重极点 $p_0$：

$$\frac{X(z)}{z}=\frac{A_{01}}{z-p_0}+\frac{A_{02}}{(z-p_0{)}^2}+\cdots +\frac{A_{0m}}{(z-p_0{)}^m}+\cdots$$

对应变换对：$\frac{z}{(z-p_0{)}^k}\leftrightarrow \frac{n(n-1)\cdots (n-k+2)}{(k-1)!}{p}_0^{n-k+1}u[n]$（右边序列）

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幂级数展开法（长除法，Power Series Expansion）

基本思路

将 $X(z)$ 展开为 $z^{-1}$ 的幂级数，通过定义直接读出 $x[n]$：

$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$$

因果序列（右边序列，ROC在圆外）

将 $X(z)$ 表示为 $z^{-1}$ 的多项式（分子分母按 $z^{-1}$ 的升幂排列），进行长除：

$$X(z)=\frac{b_0+b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}+\cdots }{a_0+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+\cdots }$$

长除结果：$X(z)=x[0]+x[1]z^{-1}+x[2]z^{-2}+\cdots$，系数即为序列值。

反因果序列（左边序列，ROC在圆内）

将 $X(z)$ 表示为 $z$ 的多项式（分子分母按 $z$ 的升幂排列），进行长除：

$$X(z)=\frac{b_0+b_{1}z+b_2{z}^2+\cdots }{a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots }$$

长除结果：$X(z)=x[0]+x[-1]z+x[-2]z^2+\cdots$，系数对应负时间轴。

优缺点

• 优点：简单直接，适合求序列的前若干项
• 缺点：难以得到闭合解析式，无法直接判断序列的一般项公式

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留数法（Residue Method）

基本公式

留数法直接计算围线积分，对于有理z变换可等效为求各极点的留数之和：

$$x[n]=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}X(z)z^{n-1}dz=\sum \text{Res}{\left[X(z)z^{n-1}\right]}_{z=p_k}$$

留数计算

• 单极点 $p_k$：

$$\text{Res}{\left[X(z)z^{n-1}\right]}_{z=p_k}={\left[(z-p_k)X(z)z^{n-1}\right]}_{z=p_k}$$

• $m$ 重极点 $p_k$：

$$\text{Res}{\left[X(z)z^{n-1}\right]}_{z=p_k}=\frac{1}{(m-1)!}{\left[\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}(z-p_k{)}^{m}X(z)z^{n-1}\right]}_{z=p_k}$$

注意事项

• 围线 $C$ 在ROC内，包围所有极点（或所有有限极点）
• 当 $n$ 取不同范围时，$X(z)z^{n-1}$ 在 $z=0$ 处的极点阶数会变化，需要分别处理
• 对于因果序列，$n<0$ 时若能证明积分为零最为理想（通常选择包含无穷远点的围线）

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方法比较与选择

方法	适用场景	优点	缺点
部分分式法	有理z变换，已知极点	能得到闭合解析式，最常用	需要确定ROC对应的序列形式
幂级数法（长除法）	求前几项数值，或非有理变换	简单直观，易于编程实现	难以得到通项公式
留数法	理论分析，高阶极点	通用性强，适合理论推导	计算复杂，需处理不同n的范围

实际应用中，部分分式法最为常用，结合z变换表和性质可高效求解大多数问题。

链接到

• 上一个知识点：6.3 z变换的性质
• 下一个知识点：6.5 z平面与s平面的映射关系