6.5 z平面与s平面的映射关系

z平面与s平面的映射关系

z变换与拉普拉斯变换通过采样过程建立了紧密联系。理解s平面到z平面的映射关系，对于将连续系统理论推广到离散系统具有重要意义。

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映射的基本关系

采样过程

对连续信号 $x(t)$ 以周期 $T$ 进行理想采样：

$$x_s(t)=x(t)\cdot {\delta }_T(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)$$

采样信号的拉普拉斯变换：

$$X_s(s)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)e^{-snT}$$

z变换与拉普拉斯变换的联系

定义离散序列 $x[n]=x(nT)$，其z变换为：

$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$$

对比 $X_s(s)$ 可得映射关系：

$$z=e^{sT}$$

其中 $T$ 为采样周期，$s=\sigma +j\omega$ 为复频率。

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映射的数学形式

将 $s=\sigma +j\omega$ 代入 $z=e^{sT}$：

$$z=e^{(\sigma +j\omega )T}=e^{\sigma T}\cdot e^{j\omega T}=r{e}^{j\Omega }$$

其中：

• $r=|z|=e^{\sigma T}$，由 $s$ 的实部 $\sigma$ 决定
• $\Omega =\angle z=\omega T$，由 $s$ 的虚部 $\omega$ 决定

由此可见，s域到z域的映射将直角坐标 $(\sigma ,\omega )$ 映射为极坐标 $(r,\Omega )$。

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s平面上的区域映射

s平面左半平面 $\to$ z平面单位圆内

$$\sigma <0\Rightarrow r=e^{\sigma T}<1$$

s平面左半平面（$\sigma <0$）映射为z平面单位圆内部（$|z|<1$）。

s平面的j$\omega$轴 $\to$ z平面单位圆

$$\sigma =0\Rightarrow r=e^0=1$$

s平面的虚轴（$\sigma =0$）映射为z平面的单位圆（$|z|=1$）。

s平面右半平面 $\to$ z平面单位圆外

$$\sigma >0\Rightarrow r=e^{\sigma T}>1$$

s平面右半平面（$\sigma >0$）映射为z平面单位圆外部（$|z|>1$）。

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特殊路径的映射

s平面垂直线 $\sigma ={\sigma }_0$（常数）

$$z=e^{{\sigma }_{0}T}\cdot e^{j\omega T}$$

• $\sigma ={\sigma }_0$ 的垂直线映射为z平面上半径为 $r_0=e^{{\sigma }_{0}T}$ 的圆
• 当 ${\sigma }_0=0$ 时，映射为单位圆
• 当 ${\sigma }_0<0$ 时，映射为单位圆内的圆
• 当 ${\sigma }_0>0$ 时，映射为单位圆外的圆

s平面水平线 $\omega ={\omega }_0$（常数）

$$z=e^{\sigma T}\cdot e^{j{\omega }_{0}T}$$

• $\omega ={\omega }_0$ 的水平线映射为z平面上幅角固定为 ${\Omega }_0={\omega }_{0}T$ 的射线
• 射线的方向由 ${\omega }_0$ 决定，长度由 $\sigma$ 决定

s平面多值性（混叠效应）

注意到 $\Omega =\omega T$ 是周期为 $2\pi /T$ 的函数：

$$\omega \to \omega +\frac{2\pi }{T}\Rightarrow \Omega \to \Omega +2\pi$$

由于 $e^{j(\Omega +2\pi )}=e^{j\Omega }$，s平面上相距 $2\pi /T$ 的垂直线映射到z平面上的同一位置。

这意味着映射是多对一的：s平面上宽度为 $2\pi /T$ 的水平带状区域映射到整个z平面。

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主值带与周期延拓

主值带（Primary Strip）

s平面中 $\omega \in (-\pi /T,\pi /T]$ 的区域称为主值带，映射到整个z平面。

附加带（Complementary Strips）

s平面中 $\omega \in ((2k-1)\pi /T,(2k+1)\pi /T]$ 的每个带状区域都映射到整个z平面。

这种多值映射导致频谱混叠（Aliasing）：

• 连续信号 $x(t)$ 的频谱 $X(j\omega )$ 在采样后周期延拓
• 若 $x(t)$ 不是带限的，或采样频率不满足奈奎斯特条件，则会出现混叠

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稳定性区域映射

连续系统

• 稳定：所有极点位于s平面左半平面（$\sigma <0$）
• 临界稳定：有一阶极点位于 $j\omega$ 轴上

离散系统

• 稳定：所有极点位于z平面单位圆内（$|z|<1$）
• 临界稳定：有一阶极点位于单位圆上（$|z|=1$）
• 不稳定：有极点在单位圆外，或单位圆上有重极点

映射对照

s平面区域	映射到z平面	系统稳定性
左半平面 $\sigma <0$	单位圆内 $	z
$j\omega$ 轴 $\sigma =0$	单位圆上 $	z
右半平面 $\sigma >0$	单位圆外 $	z

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频率轴映射关系

模拟频率与数字频率

$$\Omega =\omega T=2\pi \frac{f}{f_s}$$

其中 $f_s=1/T$ 为采样频率，$\Omega$ 为数字频率（归一化频率）。

对应关系：

模拟频率 $\omega$	数字频率 $\Omega$
$0$	$0$（直流）
$\pi /(2T)$	$\pi /2$
$\pi /T$	$\pi$（最高频率）
$2\pi /T$	$2\pi$（一个周期）

重要说明

• 数字频率 $\Omega$ 以 $2\pi$ 为周期，这是离散时间傅里叶变换（DTFT）周期性（周期为 $2\pi$）的根本原因
• 由于映射的多值性，数字滤波器的频率响应也具有周期性

链接到

• 上一个知识点：6.4 逆z变换
• 下一个知识点：6.6 z变换解差分方程
• 相关知识点：4.10 系统因果性与稳定性